Cho phương trình x ² – 2(m – 1)x – 2m = 0
Tìm m để phuong trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x ²1 – x1 – x2 = 5 – 2m
Cho phương trình x ² – 2(m – 1)x – 2m = 0
Tìm m để phuong trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x ²1 – x1 – x2 = 5 – 2m
Để Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
$Δ’=(m-1)^2-(-2m)=m^2-2m+1+2m=m^2+1>0,∀x∈R$
$⇒x_1^2-2(m-1)x_1-2m=0$
$⇒x_1^2=2(m-1)x_1+2m(1)$
Theo vi – ét ta có
$\left \{ {{S=x_1+x_2=2(m-1)} \atop {P=x_1x_2=-2m}} \right.$
$⇒2(m-1)x_1+2m-[2(m-1)]=5-2m$
$⇔2(m-1)x_1+2m-2m+2=5-2m$
$⇔2(m-1)x_1=3-2m$
$⇔(2m-2)x_1=3-2m$
$⇒x_1=\frac{3-2m}{2m-2}$ với $2m-2≠0⇔m≠1$
$x_1^2-x_1-x_2=5-2m$
$⇔x_1^2=x_1+x_2+5-2m$
$⇔$$(\frac{3-2m}{2m-2})^2=2(m-1)+5-2m $
$⇔$$(\frac{3-2m}{2m-2})^2=2m-2+5-2m $
$⇔$$(\frac{3-2m}{2m-2})^2=3 $ với $m≠1$
$⇔(3-2m)^2=3(2-2m)^2$
$⇔9-12m+4m^2=3(4-8m+4m^2)$
$⇔9-12m+4m^2=12-24m+12m^2$
$⇔-8m^2+12m-3=0$
$⇔$$m_1=\frac{6+2\sqrt[]{3}}{8}=$ $\frac{2(3+\sqrt[]{3})}{8}=$ $\frac{3+\sqrt[]{3}}{4}(n)$
$m_2=\frac{6-2\sqrt[]{3}}{8}=$ $\frac{2(3-\sqrt[]{3})}{8}=$ $\frac{3-\sqrt[]{3}}{4}(n)$
Đáp án:
`m\in{{3-\sqrt{3}}/4; {3+\sqrt{3}}/4}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-2(m-1)x-2m=0`
Ta có: `a=1;b=-2(m-1);c=-2m`
`=>b’=b/2=-(m-1)`
`∆’=b’^2-ac=[-(m-1)]^2-1.(-2m)`
`=m^2-2m+1+2m=m^2+1\ge 1 >0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`=>x_1^2-2(m-1)x_1-2m=0`
`=>x_1^2=2(m-1)x_1+2m`
$\\$
Theo hệ thức Viet ta có:
$\quad x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)=2m-2$
$\\$
Để `x_1^2-x_1-x_2=5-2m`
`<=>2(m-1)x_1+2m-(x_1+x_2)=5-2m`
`<=>(2m-2)x_1+2m-(2m-2)=5-2m`
`<=>(2m-2)x_1=-2m+3`
`<=>x_1={-2m+3}/{2m-2}` `(m\ne 1)`
Ta lại có:
`\qquad x_1^2-x_1-x_2=5-2m`
`<=>x_1^2=x_1+x_2+5-2m`
`<=>x_1^2=2m-2+5-2m`
`<=>({-2m+3}/{2m-2})^2=3` `(m\ne 1)`
`<=>(-2m+3)^2=3(2m-2)^2`
`<=>4m^2-12m+9=3.(4m^2-8m+4)`
`<=>4m^2-12m+9=12m^2-24m+12`
`<=>8m^2-12m+3=0` (*)
`\qquad ∆’=(-6)^2-8.3=12>0`
`=>\sqrt{∆’}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}`
`\qquad ∆’>0=>` Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
`\qquad m_1={6+2\sqrt{3}}/8={3+\sqrt{3}}/4\ (thỏa\ đk)`
`\qquad m_2={6-2\sqrt{3}}/8={3-\sqrt{3}}/4\ (thỏa\ đk)`
Vậy `m\in{{3-\sqrt{3}}/4; {3+\sqrt{3}}/4}` thỏa đề bài