cho phương trình x^2-(m+1)x+m-1-0
a)chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị m
b)gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình trên.Tìm m để x1,x2 thỏa x1^2+x2^2-x1x2=4
cho phương trình x^2-(m+1)x+m-1-0
a)chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị m
b)gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình trên.Tìm m để x1,x2 thỏa x1^2+x2^2-x1x2=4
a) Δ = [-(m+1)]²- 4.(m-1) = m²+2m+1-4m+4 = m²-2m+5 = m²-2m+1 +4 = (m-1)²+4
vì (m-1)² ≥ 0 ∀ m
=> (m-1)² +4 ≥ 4 ∀ m
=> (m-1)² +4 > 0 ∀ m
=> Δ > 0 ∀ m
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀ m
b)
Theo Vi-ét: $\left \{ {{x_{1}+x_{2}= m+1} \atop {{x_{1}x_{2}= m-1}}} \right.$
$x_{1}^2$ + $x_{2}^2$ – $x_{1}$ $x_{2}$ = 4
(=) ($x_{1}^2$ + 2$x_{1}$ $x_{1}$ + $x_{2}^2$ ) – 2$x_{1}$ $x_{2}$ – $x_{1}$ $x_{2}$ = 4
(=) ($x_{1}$+ $x_{2}$ )² -3$x_{1}$ $x_{2}$ =4
Thay Vi- ét vào ($x_{1}$+ $x_{2}$ )² -3$x_{1}$ $x_{2}$ =4
=> (m+1)² – 3. (m-1)=4
(=) m²+2m+1 -3m+3=4
(=) m²-m=0
(=) m(m-1)=0
(=) \(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m-1=0\end{array} \right.\)
(=) \(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=1\end{array} \right.\)
Vậy m=0 hoặc m =1 thì phương trình có 2 nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ thỏa mãn
$x_{1}^2$ + $x_{2}^2$ – $x_{1}$ $x_{2}$ = 4