Cho phương trình: $x^2 – (m-3)x – 2m + 2 = 0$ ( với $m$ là tham số). Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $x_{2}^{2} – x_{1} =2$
Cho phương trình: $x^2 – (m-3)x – 2m + 2 = 0$ ( với $m$ là tham số). Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $x_{2}^{2} – x_{1} =2$
Đáp án:
`m\in {1;3}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-(m-3)x-2m+2=0`
`∆=b^2-4ac=[-(m-3)]^2-4.1.(-2m+2)`
`∆=m^2-6m+9+8m-8=m^2+2m+1`
`∆=(m+1)^2\ge 0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm `x_1;x_2` với mọi `m`
`=>x_2^2-(m-3)x_2-2m+2=0`
`=>x_2^2=(m-3)x_2+2m-2`
$\\$
Theo hệ thức Viet ta có:
$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m-3⇒x_1=m-3-x_2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m+2\end{cases}$
Ta có:
`\qquad x_2^2-x_1=2`
`<=>(m-3)x_2+2m-2-x_1=2`
`<=>(m-3)x_2+2m-2-(m-3-x_2)=2`
`<=>(m-2)x_2=1-m`
`<=>x_2={1-m}/{m-2}` $(m\ne 2)$
`=>x_1=m-3-x_2=m-3-{1-m}/{m-2}`
`=>x_1={(m-3)(m-2)-(1-m)}/{m-2}={m^2-4m+5}/{m-2}`
$\\$
Vì `x_1.x_2=-2m+2`
`<=>{m^2-4m+5}/{m-2}. {1-m}/{m-2}=2(1-m)` $(m\ne 2)$
`<=>(m^2-4m+5).(1-m)=2(1-m)(m-2)^2`
`<=>(1-m)(2m^2-8m+8-m^2+4m-5)=0`
`<=>(1-m)(m^2-4m+3)=0`
`<=>(1-m)(m-1)(m-3)=0`
`<=>(m-1)^2(3-m)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}(m-1)^2=0\\3-m=0\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=1(T M)\\m=3(T M)\end{array}\right.$
Vậy `m\in {1;3}` thỏa đề bài
$x^2 -(m-3)x -2m+2 = 0$
$\Delta = b^2 -4ac = (m-3)^2 – 4.1.(-2m+2) = m^2 – 6m +9 + 8m -8$
$ = m^2 +2m +1 = (m+1)^2$
Ta có $ (m+1)^2 \ge 0$ nên phương trình có hai nghiệm
$x_{1} = \dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{m-3 + \sqrt{(m+1)^2}}{2} = \dfrac{m-3 + |m+1|}{2}$
$x_{2} = \dfrac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{m-3 – \sqrt{(m+1)^2}}{2} = \dfrac{m-3 – |m+1|}{2}$
Ta có
$ x_2^2 -x_1 = 2$
$\to ( \dfrac{m-3 – |m+1|}{2})^2 – \dfrac{m-3 + |m+1|}{2} = 2$
Xét $m \ge -1$ ta có
$ ( \dfrac{m-3 – |m+1|}{2})^2 – \dfrac{m-3 + |m+1|}{2} = 2$
$ \leftrightarrow (\dfrac{m-3 – (m+1)}{2})^2 – \dfrac{m-3 +m+1}{2} = 2$
$ \to (-2)^2 – \dfrac{2m-2}{2} = 2$
$\to 4 – (m-1) = 2 \to m -1 = 2 \to m = 3$ ( thỏa mãn )
Xét $ m < -1$ ta có
$ ( \dfrac{m-3 – |m+1|}{2})^2 – \dfrac{m-3 + |m+1|}{2} = 2$
$ \leftrightarrow (\dfrac{m-3 – (-m-1)}{2})^2 – \dfrac{m-3 + (-m-1)}{2} = 2$
$\to (\dfrac{2m -2}{2})^2 – \dfrac{-4}{2} = 2$
$\to (m-1)^2 +2 = 2$
$\to (m-1)^2 = 0 \to m -1 =0 \to m = 1$ (không thỏa mãn)
Vậy $ m = 3$