Cho phương trình :
x^2 – (m+3)x+m-1 =0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 sao cho :
x1 < 1/x2 < x2
Cho phương trình :
x^2 – (m+3)x+m-1 =0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 sao cho :
x1 < 1/x2 < x2
Đáp án:
Không tồn tại giá trị m để TMĐK
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
\to {m^2} + 6m + 9 – 4\left( {m – 1} \right) > 0\\
\to {m^2} + 2m + 1 + 12 > 0\\
\to {\left( {m + 1} \right)^2} + 12 > 0\left( {ld} \right)\forall m \in R\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{m + 3 + \sqrt {{m^2} + 2m + 13} }}{2}\\
{x_2} = \dfrac{{m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} }}{2}
\end{array} \right.\\
Có:{x_1} < \dfrac{1}{{{x_2}}} < {x_2}\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{x_1}{x_2} – 1}}{{{x_2}}} < 0\left( 1 \right)\\
\dfrac{{{x_2}^2 – 1}}{{{x_2}}} > 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
Xét:\left( 1 \right) \to \dfrac{{m – 1 – 1}}{{\dfrac{{m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} }}{2}}} < 0\\
\to \left( {m – 2} \right).\dfrac{2}{{m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} }} < 0\\
\to \dfrac{{2m – 4}}{{m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} }} < 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2m – 4 > 0\\
m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2m – 4 < 0\\
m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
{m^2} + 6m + 9 < {m^2} + 2m + 13
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
{m^2} + 6m + 9 > {m^2} + 2m + 13
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 1
\end{array} \right.\left( l \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
m > 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to 1 < m < 2\left( 3 \right)\\
Xét:\left( 2 \right) \to \left[ {{{\left( {\dfrac{{m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} }}{2}} \right)}^2} – 1} \right]:\left( {\dfrac{{m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} }}{2}} \right) > 0\\
\to \left[ {\dfrac{{{{\left( {m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} } \right)}^2} – 4}}{4}} \right].\dfrac{2}{{m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} }} > 0\\
\to \dfrac{{{{\left( {m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} } \right)}^2} – 4}}{{2\left( {m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} } \right)}} > 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} } \right)^2} – 4 > 0\\
m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} } \right)^2} – 4 < 0\\
m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} > 0\\
m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} > 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} < 0\\
m + 3 – \sqrt {{m^2} + 2m + 13} > – 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m + 1 > \sqrt {{m^2} + 2m + 13} \\
\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 6m + 9 < {m^2} + 2m + 13\\
{m^2} + 10m + 25 > {m^2} + 2m + 13
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 1 > {m^2} + 2m + 13\\
\left\{ \begin{array}{l}
4m < 4\\
8m > – 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
1 > 13\left( {vô lý} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m > – \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to 1 > m > – \dfrac{3}{4}\left( 4 \right)
\end{array}\)
Kết hợp điều kiện của (3) và (4)
⇒ Không tồn tại giá trị m để TMĐK