Cho phương trình x²+(3m+1)x+m²+m-6=0 a)Tìm m để phương trình có nghiệm đều âm b)Tìm m để biểu thức x1²+x2²+3×x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

Δ=b²-4ac=(3m+1)²-4(m²+m-6)=9m²+6m+1-4m²-4m+24=5m²+2m+25=5m²+2.√(5).1/(√5)+1/5+24$\frac{4}{5}$ =(√(5)m+1/√5)²+24$\frac{4}{5}$ >0∀m

⇒pt luôn có 2 nghiệm với mọi gt của m

a>

pt có 2 nghiệm đều âm⇒$\left \{ {{S<0} \atop {P>0}} \right.$    (1)

theo trên pt luôn có 2 nghiêm vs mọi gt của m gọi 2 nghiệm của pt là x1; x2 theo viet ta có

$\left \{ {{S=x1+x2=-3m-1} \atop {P=x1.x2=m^2+m-6}} \right.$  

thay vào (1) ta đc 

-3m-1<0      ⇒-3m<1            ⇒m>-1/3

m²+m-6>0  ⇒(m+3)(m-2)>0⇒m>2 hoặc m<-3 

=>=>m>2 

vậy m>2 thì pt có 2 nghiệm đều âm

Phần b>

x1²+x2²+3×1.x2=(x1+x2)²+x1.x2=[-(3m+1)]²+m²+m-6=9m²+6m+1+m²+m-6=10m²+7m-5

=(√10m)²+2.√10.m.7/√10+4.9-9.9=(√10m+7/√10)²-9.9

min=-9.9 khi √10m+7/√10=0⇔m=-7/10