Cho phương trình ẩn x : $x^{2}$ -2x-2m = 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ( 1+$x1^{2}$ ) ( 1+$x^2{2}$ ) =5
Cho phương trình ẩn x : $x^{2}$ -2x-2m = 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ( 1+$x1^{2}$ ) ( 1+$x^2{2}$ ) =5
By Reese
Đáp án:
$m=0$
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-2x-2m=0`
`∆’=b’^2-ac=(-1)^2-1.(-2m)=2m+1`
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`<=>∆’>0`
`<=>2m+1>0`
`<=>2m> -1`
`<=>m> -1/ 2`
Với `m> -1/ 2`, theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m\end{cases}$
Để `(1+x_1^2)(1+x_2^2)=5`
`<=>1+x_2^2++x_1^2+(x_1x_2)^2=5`
`<=>(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2+(x_1x_2)^2=4`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1x_2)^2=4`
`<=>2^2-2.(-2m)+(-2m)^2=4`
`<=>4m^2+4m=0`
`<=>4m(m+1)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=0\\m+1=0\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=0\ (thỏa\ đk)\\m=-1\ (loại)\end{array}\right.$
Vậy `m=0` thỏa đề bài
x^2-2x-2m=0(1)
Δ=4+8m
để phương trình(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 => Δ>0 hay m>-1/2
Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2, ta được:
x1.x2=-2m x1+x2=2
Vì:( 1+x1²) ( 1+x²2 ) =5 =>x1²+x²2 +(x1.x2)²+1=5
=>(x1+x2)^2- 2.x1.x2 + (x1.x2)²+1=5
=>4+4m+4m²+1-5=0
=>4m²+4m=0
=>4m(m+1)=0 => m=0(tm) hoặc m=-1(ktm)
Vậy m=0 thì tm yêu cầu đề bài.