Cho phương trình ( ẩn x ) : x^2– (2m + 3)x + m = 0. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức x^1+ x2 có giá trị nhỏ nhất.
Cho phương trình ( ẩn x ) : x^2– (2m + 3)x + m = 0. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức x^1+ x2 có giá trị nhỏ nhất.
Đáp án:
$m = -\dfrac{5}{4}$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng định lý Vi-ét, ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m + e\\x_1x_2 = m\end{cases}$
$\Rightarrow x_1^2 + x_2^2= (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2$
$= (2m + 3)^2 – 2m$
$= 4m^2 + 10m + 9$
$= 4m^2 + 2.2m.\dfrac{5}{2} + \dfrac{25}{4} + \dfrac{21}{4}$
$= (2m + \dfrac{5}{2})^2 + \dfrac{21}{4}$
Do $(2m + \dfrac{5}{2})^2 \geq 0, \forall m$
nên $(2m + \dfrac{5}{2})^2 + \dfrac{21}{4} \geq \dfrac{21}{4}, \forall m$
$\Rightarrow min(x_1^2+x_2^2) = \dfrac{21}{4}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2m + \dfrac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = -\dfrac{5}{4}$