Cho phương trình ẩn x: kx^2 – (k-1)x-1 =0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k. Tìm hệ thức độc lập đối với k giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình
Cho phương trình ẩn x: kx^2 – (k-1)x-1 =0 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k. Tìm hệ thức độc lập đối với k giữa các nghiệm x1 và x
By Allison
Đáp án:
`x_1 +x_2 = 1 + x_1 * x_2`
Giải thích các bước giải:
`**` Khi `k=0` thì phương trình trở thành `x-1=0 <=> x =1`
`**` Khi `k ne 0: Δ= (k-1)^2 + 4k`
`= k^2 + 2k +1`
`= (k+1)^2 ge 0 ∀ k ne0`
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi `k`
Trong trường hợp `k ne 0`, gọi `x_1, x_2` là nghiệm của phương trình:
Theo `vi-ét` :
$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 = \dfrac{k-1}{k}\\\\x_1.x_2 = \dfrac{-1}{k}\end{matrix}\right.$
`<=>` $\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 = 1- \dfrac{1}{k}(1)\\\\x_1.x_2 = \dfrac{-1}{k}(2) \end{matrix}\right.$
Từ `(1), (2)` ta suy ra `x_1 + x_2 = 1+ x_1 * x_2`
Đây là hệ thức độc lập giữa `x_1` và `x_2` đối với `k`
$kx^2-(k-1)x-1=0$
$∆=k^2-2k+1+4k=k^2+2k+1=(k+1)^2\ge0$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm với mọi $k$
Theo Vi-et ta có
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{k-1}{k}\\x_1x_2=\dfrac{-1}{k}\end{matrix}\right.$
Ta có
$x_1+x_2-x_1x_2=\dfrac{k-1}{k}-\dfrac{-1}{k}\dfrac{k-1+1}{k}=1$
$\Rightarrow$ Hệ thức độc lập đối với $k$
$x_1+x_2-x_1x_2=1$
Xin 5sao+ctlhn