Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
Giải thích các bước giải:
a) $x^{2} – 2\left ( m + 1 \right )x + m – 4 = 0$
Ta có:
$\Delta’ = \left ( m + 1 \right )^{2} – \left ( m – 4 \right )$
$= m^{2} + 2m + 1 – m + 4$
$= m^{2} + m + 5$
$= \left ( m^{2} + 2.\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4} \right ) + \dfrac{19}{4}$
$= \left ( m + \dfrac{1}{2} \right )^{2} + \dfrac{19}{4} > 0$ với mọi $x$
Suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
$ac < 0$
$\Leftrightarrow m – 4 < 0$
$\Leftrightarrow m < 4$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m ⇔ Δ > 0 với mọi m
Có Δ’ = (m +1)2 – (m-4) = m2 + m + 5 = (m + 1/2)2 + 19/4 > 0 với mọi m
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0 ⇔ m – 4 < 0 ⇔ m < 4
Vậy với m < 4 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.