Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
c) Không giải phương trình hãy tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`x^2– 2(m+1)x + m – 4 = 0\ (1)`
a) `Δ’=[-(m+1)]^2-1.(m-4)`
`Δ’=m^2+2m+1-m+4`
`Δ’=m^2+m+5`
`Δ’=(m+\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}`
Ta có: `(m+\frac{1}{2})^2>0∀m`
`⇒(m+\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}≥\frac{17}{4}∀m`
`⇒` Phương trình `(1)` luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Để `(1)` có 2 nghiệm trái dấu:
`⇔ a.c<0`
`⇔ 1.(m-4)<0`
`⇔ m<4`
Vậy với `m<4` thì phương trình `(1)` có hai nghiệm trái dấu.
c) Phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1.x_2=m-4\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}2m=x_1+x_2-2(1)\\-m=-x_1.x_2-4(2)\end{cases}$
Từ (1) $\Rightarrow m=\dfrac{x_1+x_2-2}{2}$
Từ (2) $\Rightarrow m=x_1x_2+4$
$\Rightarrow \dfrac{x_1+x_2-2}{2}=x_1x_2+4$
$⇔x_1+x_2-2=2(x_1x_2+4)$
$⇔(x_1+x_2)-2x_1x_2=10$
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1,x_2$ không phụ thuộc vào $m$ là $(x_1+x_2)-2x_1x_2=10$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m ⇔ Δ > 0 với mọi m
Có Δ’ = (m +1)2 – (m-4)
= m2 + m + 5
= (m + 1/2)2 + 19/4 > 0 với mọi m
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0
⇔ m – 4 < 0
⇔ m < 4
Vậy với m < 4 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
c) Vì pt có 2 no trái dấu (b) nên theo hệ thức viet ta có:
x1+x2= 2m+2
x1x2= m-4
⇔ x1+x2-2x1x2=10
Vậy x1+x2-2x1x2=10 là hệ thức liên hệ ko phụ thuộc vào m