cho phương trình bậc hai ẩn x , m là tham số : x^2 +mx+2m-4 =0 (1)
a) chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) gọi x1;x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) . Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để biểu thức A =$\frac{x1.x2}{x1+x2}$ có giá trị nguyên
a.Δ =b² – 4ac =m² – 4.1. (2m-4)
=m² – 8m + 16
=(m-4)²≥0∀m
⇒Δ≥0∀m ⇒pt1 luôn có nghiệm
b.Gọi 2 nghiệm của pt(1) là x1,x2
Theo Vi-et ta có :
\(\left[ \begin{array}{l}x1 + x2=-\frac{b}{a}=-m \\x1.x2=\frac{c}{a}=2m -4\end{array} \right.\)
Theo đề :
A=$\frac{x1.x2}{x1+x2}$ ⇒ A = $\frac{2m-4}{-m}$ =2+$\frac{4}{-m}$
Để A∈Z ⇒ $\frac{4}{-m}$ ∈ Z
⇒-m ∈ Ư (4) mà Ư 4 = {±1;±2;±4}
\(\left[ \begin{array}{l}-m=-1\\-m=1\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}-m=2\\-m=-2\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}-m=-4\\-m=-4\end{array} \right.\)
⇒\(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=-1\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}m=2\\m=-2\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}m=4\\m=-4\end{array} \right.\)
⇒m ∈ {±1;±2;±4}⇒ A = $\frac{x1.x2}{x1+x2}$ ∈ Z
a) Ta có: ∆ = m^2 – 4.(2m – 4)
∆ = m^2 – 8m + 16 = (m – 4)^2 >= 0
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b) Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình đã cho, ta được
x1 + x2 = -m
x1.x2 = 2m – 4
Thay vào A ta được
A = (2m – 4)/-m = – 2 + 4/m
A nguyên khi và chỉ khi 4/m nguyên
Hay m thuộc Ư(4)
Ta được m = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}