cho pt x^2-2(m-2)x-6m=0(1).Gọi x1,x2 là các nghiệm của pt (1).Tìm giá trị nhỏ nhất của x1^2+x2^2

0 bình luận về “cho pt x^2-2(m-2)x-6m=0(1).Gọi x1,x2 là các nghiệm của pt (1).Tìm giá trị nhỏ nhất của x1^2+x2^2”

1. Đáp án:

   \[{\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)_{\min }} = 15 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\]

   Giải thích các bước giải:

    Phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi:

   \(\begin{array}{l}
   \Delta ‘ \ge 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {m – 2} \right)^2} – 1.\left( { – 6m} \right) \ge 0\\
    \Leftrightarrow {m^2} – 4m + 4 + 6m \ge 0\\
    \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 4 \ge 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + 3 \ge 0,\,\,\,\forall m
   \end{array}\)

   Do đó, theo Vi – et, phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
   {x_1} + {x_2} = 2\left( {m – 2} \right)\\
   {x_1}{x_2} =  – 6m
   \end{array} \right.\)

   Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   M = {x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) – 2{x_1}{x_2}\\
    = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}\\
    = {\left( {2\left( {m – 2} \right)} \right)^2} – 2.\left( { – 6m} \right)\\
    = 4\left( {{m^2} – 4m + 4} \right) + 12m\\
    = 4{m^2} – 4m + 16\\
    = \left( {4{m^2} – 4m + 1} \right) + 15\\
    = {\left( {2m – 1} \right)^2} + 15 \ge 15,\,\,\,\,\forall m
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2m – 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)

   Vậy \({\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)_{\min }} = 15 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)

   Bình luận