Cho pt: x $x^{2}$ -(m-1)x +m -2 = 0 Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x1^{2}$ + $x2^{2}$ =2 22/07/2021 Bởi Aaliyah Cho pt: x $x^{2}$ -(m-1)x +m -2 = 0 Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x1^{2}$ + $x2^{2}$ =2
Đáp án: Ta có : Δ = $(^{}$ $m^{}$ – $1^{}$ $)^{}$² – 4.($m^{}$ – $2^{}$) $=>^{}$Δ $=^{}$ $m^{2}$ – $2^{}$$m^{}$ + $1^{}$ – $4^{}$$m^{}$ + $8^{}$ $=>^{}$Δ $=^{}$ $m^{2}$ – $6^{}$$m^{}$ + $9^{}$ $=>^{}$Δ $=^{}$ $(^{}$ $m^{}$ – $3^{}$ $)^{}$² Để pt có 2 nghiệm phân biệt : $=>^{}$ Δ $>^{}$ $0^{}$ $=>^{}$ ( $m^{}$ – $3^{}$)² $>^{}$ $0^{}$ $=>^{}$ $m^{}$ – $3^{}$ $\neq$ 0 $=>^{}$ $m^{}$ $\neq$ $3^{}$ Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình :$\left \{ {{x_{1}+x_{2} =^{} m^{} – 1^{}} \atop {x_{1}.x_{2} =^{} m^{} – 2^{}}} \right.$ Theo bài ra : $x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ $=^{}$ $2^{}$ $=>^{}$ $x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ – $2^{}$$x_{1}$$x_{2}$ $=^{}$ $2^{}$ $=>^{}$ $(^{}$ $x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ $)^{}$ – $2^{}$$x_{1}$$x_{2}$ $=^{}$ $2^{}$ $=>^{}$ $(^{}$ $x_{1}$ + $x_{2}$ $)^{}$² – $2^{}$$x_{1}$$x_{2}$ $=^{}$ $2^{}$ $=>^{}$ $(^{}$ $m^{}$ – $1^{}$ $)^{}$² – $2^{}$$(^{}$$m^{}$ – $2^{}$ $)^{}$ $=^{}$ $2^{}$ $=>^{}$ $m^{2}$ – $2^{}$$m^{}$ + $1^{}$ – $2^{}$$m^{}$ + $4^{}$ $=^{}$ $2^{}$ $=>^{}$ $m^{2}$ – $4^{}$$m^{}$ + $3^{}$ $=>^{}$ $(^{}$ $m^{}$ – $3^{}$ $)^{}$.$(^{}$ $m^{}$ – $1^{}$ $)^{}$ $=^{}$ $0^{}$ $=>^{}$ \(\left[ \begin{array}{l}m = 3 ( kt/m)\\m = 1( t/m)\end{array} \right.\) $Vậy ^{}$ $m^{}$ = $1^{}$ Bình luận
`x^2-(m-1)x+m-2=0` `(1)` `Delta=[-(m-1)]^2-4.1.(m-2)` `=m^2-2m+1-4m+8` `=m^2-6m+9` `=(m-3)^2\geq0∀m` Để phuong trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt thì: `Delta>0` `<=>(m-3)^2>0` `<=>m-3\ne0` `<=>m\ne3` Theo hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases} x_1+x_2=m-1\\x_1.x_2=m-2\end{cases}$ Lại có: `x_1^2+x_2^2=2` `<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=2` `<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2` `=>(m-1)^2-2(m-2)=2` `<=>m^2-2m+1-2m+4=2` `<=>m^2-4m+5=2` `<=>m^2-4m+3=0` `<=>m^2-3m-m+3=0` `<=>m(m-3)-(m-3)=0` `<=>(m-3)(m-1)=0` `<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m-3=0\\m-1=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=3(\text{loại})\\m=1(\text{nhận})\end{array} \right.\) Vậy `m=1` là giá trị phải tìm. Bình luận
Đáp án:
Ta có :
Δ = $(^{}$ $m^{}$ – $1^{}$ $)^{}$² – 4.($m^{}$ – $2^{}$)
$=>^{}$Δ $=^{}$ $m^{2}$ – $2^{}$$m^{}$ + $1^{}$ – $4^{}$$m^{}$ + $8^{}$
$=>^{}$Δ $=^{}$ $m^{2}$ – $6^{}$$m^{}$ + $9^{}$
$=>^{}$Δ $=^{}$ $(^{}$ $m^{}$ – $3^{}$ $)^{}$²
Để pt có 2 nghiệm phân biệt :
$=>^{}$ Δ $>^{}$ $0^{}$
$=>^{}$ ( $m^{}$ – $3^{}$)² $>^{}$ $0^{}$
$=>^{}$ $m^{}$ – $3^{}$ $\neq$ 0
$=>^{}$ $m^{}$ $\neq$ $3^{}$
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình :
$\left \{ {{x_{1}+x_{2} =^{} m^{} – 1^{}} \atop {x_{1}.x_{2} =^{} m^{} – 2^{}}} \right.$
Theo bài ra :
$x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ $=^{}$ $2^{}$
$=>^{}$ $x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ – $2^{}$$x_{1}$$x_{2}$ $=^{}$ $2^{}$
$=>^{}$ $(^{}$ $x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ $)^{}$ – $2^{}$$x_{1}$$x_{2}$ $=^{}$ $2^{}$
$=>^{}$ $(^{}$ $x_{1}$ + $x_{2}$ $)^{}$² – $2^{}$$x_{1}$$x_{2}$ $=^{}$ $2^{}$
$=>^{}$ $(^{}$ $m^{}$ – $1^{}$ $)^{}$² – $2^{}$$(^{}$$m^{}$ – $2^{}$ $)^{}$ $=^{}$ $2^{}$
$=>^{}$ $m^{2}$ – $2^{}$$m^{}$ + $1^{}$ – $2^{}$$m^{}$ + $4^{}$ $=^{}$ $2^{}$
$=>^{}$ $m^{2}$ – $4^{}$$m^{}$ + $3^{}$
$=>^{}$ $(^{}$ $m^{}$ – $3^{}$ $)^{}$.$(^{}$ $m^{}$ – $1^{}$ $)^{}$ $=^{}$ $0^{}$
$=>^{}$ \(\left[ \begin{array}{l}m = 3 ( kt/m)\\m = 1( t/m)\end{array} \right.\)
$Vậy ^{}$ $m^{}$ = $1^{}$
`x^2-(m-1)x+m-2=0` `(1)`
`Delta=[-(m-1)]^2-4.1.(m-2)`
`=m^2-2m+1-4m+8`
`=m^2-6m+9`
`=(m-3)^2\geq0∀m`
Để phuong trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt thì: `Delta>0`
`<=>(m-3)^2>0`
`<=>m-3\ne0`
`<=>m\ne3`
Theo hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases} x_1+x_2=m-1\\x_1.x_2=m-2\end{cases}$
Lại có: `x_1^2+x_2^2=2`
`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=2`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2`
`=>(m-1)^2-2(m-2)=2`
`<=>m^2-2m+1-2m+4=2`
`<=>m^2-4m+5=2`
`<=>m^2-4m+3=0`
`<=>m^2-3m-m+3=0`
`<=>m(m-3)-(m-3)=0`
`<=>(m-3)(m-1)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m-3=0\\m-1=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=3(\text{loại})\\m=1(\text{nhận})\end{array} \right.\)
Vậy `m=1` là giá trị phải tìm.