Cho pt x² – 2(m +1)x + m² – 3 = 0
a) Tìm m để pt 1 có 2 nghiệm x1 x2 sao cho biểu thức P = x1(x2 + 6) – 3(x1 – x2)
Cho pt x² – 2(m +1)x + m² – 3 = 0
a) Tìm m để pt 1 có 2 nghiệm x1 x2 sao cho biểu thức P = x1(x2 + 6) – 3(x1 – x2)
$\text{ $x^{2}$ – 2( m + 1 )x + $m^{2}$ – 3 = 0 }$
`Delta = [ -2 ( m + 1 ) ]^{2} – 4 . 1 . ( m^{2} – 3 )`
`= ( -2m – 2 )^{2} – 4 ( m^{2} – 3 ) `
`= 4m^{2} + 8m + 4 – 4m^{2} + 12 `
`= 8m + 16`
$\text{ Để phương trình có hai $n_o$ }$
`<=>` `Delta ` $\geq$ `0`
`<=> 8m + 16 ` $\geq$ `0`
`<=> 8m ` $\geq$ ` -16`
`<=> m` $\geq$ `-2`
$\text{ Theo hệ thức Vi – ét : }$
$⇔\begin{cases}x_1+x_2=2(m+1)= 2m+2 \\ x_1 x_2=m^2-3 \end{cases}$
$\text{ Theo đầu bài ta có : }$
$\text{ P= $x_1$ ( $x_2$ + 6 )- 3 ( $x_1$ – $x_2$ ) }$
`<=>` $\text{$x_1$$x_2$ + 6$x_1$ – 3$x_1$ + 3$x_2$}$
`<=>` $\text{$x_1$$x_2$ + 3$x_1$ + 3$x_2$}$
`<=>` $\text{ $x_1$$x_2$ + 3( $x_1$ + $x_2$ )}$
`<=> m^{2} -3 + 3 ( 2m + 2 )`
`<=> m^{2} – 3 + 6m + 6 `
`<=> m^{2} + 6m + 3 `
$x²-2(m+1)x+m²-3=0$
$(a=1;b’=-(m+1);c=m²-3)$
$Δ’=b’²-ac$
$Δ’=[-(m+1)]²-1.(m²-3)$
$Δ’=(m+1)²-m²+3$
$Δ’=m²+2m+1-m²+3$
$Δ’=2m+4$
Để $(1)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$
$⇔\left \{ {{a \neq 0} \atop {Δ’ \geq 0}} \right.$
$⇔\left \{ {{1\neq 0 (t/m)} \atop {2m+4 \geq 0}} \right.$
$⇔2m≥-4$
$⇔m≥-2$
Vậy vs $m≥-2$ để $(1)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$
Theo Vi-ét ta có
$\left \{ {{x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2m+2} \atop {x_1.x_2=\frac{c}{a}=m^2-3}} \right.$
Ta có $P=x_1(x_2+6)-3(x_1-x_2)$
$=x_1.x_2+6x_1-3x_1+3x_2$
$=m²-3+3x_1+3x_2$
$=m²-3+3(x_1+x_2)$
$=m²-3+3.(2m+2)$
$=m²-3+6m+6$
$=m²+6m+3$
$=m²+6m+9-6$
$=(m+3)²-6$ (nhận)
Vì $(m+3)²≥0;-6>-2$
Vậy…..