Cho PT: x² – (2m + 1)x – 3 = 0 (m là tham số). Chứng minh rằng pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Tìm các giá trị của m sao cho

Đáp án: $m =  – 3$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
{x^2} – \left( {2m + 1} \right)x – 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {2m + 1} \right)^2} – 4.\left( { – 3} \right)\\
 = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 12 > 0
\end{array}$

Nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\
{x_1}{x_2} =  – 3
\end{array} \right.\\
Khi:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} < {x_2}\\
\left| {{x_1}} \right| – \left| {{x_2}} \right| = 5 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} < 0\\
{x_1}.{x_2} < 0\\
x_1^2 – 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| + x_2^2 = 25
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + 1 < 0\\
 – 3 < 0\left( {tm} \right)\\
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} – 2.\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 25
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{{ – 1}}{2}\\
{\left( {2m + 1} \right)^2} – 2.\left( { – 3} \right) – 2.\left| { – 3} \right| = 25
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m <  – \frac{1}{2}\\
{\left( {2m + 1} \right)^2} = 25
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{{ – 1}}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
2m + 1 = 5\\
2m + 1 =  – 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m <  – \frac{1}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 2\left( {ktm} \right)\\
m =  – 3\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
Vậy\,m =  – 3
\end{array}$