cho pt 2mx^2 -x-m=0 . chưng minh pt luôn có nghiệm thuộc {-1;1}

0 bình luận về “cho pt 2mx^2 -x-m=0 . chưng minh pt luôn có nghiệm thuộc {-1;1}”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   Phương trình $2m{x^2} – x – m = 0\left( 1 \right)$

   +) Nếu $m=0$ thì $(1)$ trở thành: $-x=0\to x=0$

   $\to (1)$ có nghiệm thuộc $\left[ { – 1;1} \right]$

   +) Nếu $m\ne 0$ thì ta có: $(1)$ trở thành phương trình bậc 2 ẩn $x$ tham số $m$

   Xét đa thức $f\left( x \right) = 2m{x^2} – x – m$ liên tục trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   f\left( { – 1} \right) = 2m.1 + 1 – m = m + 1\\
   f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 2m.\dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{2} – m =  – \dfrac{m}{2} – \dfrac{1}{2}
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow f\left( { – 1} \right)f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \left( {m + 1} \right)\left( { – \dfrac{m}{2} – \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{ – 1}}{2}{\left( {m + 1} \right)^2}\\
    \Rightarrow f\left( { – 1} \right)f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) \le 0,\forall m
   \end{array}$

   $ \Rightarrow $ Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trên $\left[ { – 1;\dfrac{1}{2}} \right]$

   $ \Rightarrow $ Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trên $\left[ { – 1;1} \right]$

   Vậy ta có điều phải chứng minh

   Bình luận