cho pt x ² – (2m+5) x +2m+1 =0 vs (x là ẩn số và m là tham số ) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho P= | √x1 – √x2| đạt gtnn

để pt có 2 nghiệm phân biệt thì `Δ>0`

`<=>[-(2m+5)]^2-4(2m+1)`

`<=>4m^2+20m+25-8m-4`

`<=>4m^2+12m+21`

`<=>4m^2+2.2m.3+9+12`

`<=>(2m+3)^2+12`

vì `(2m+3)^2>=0;12>0∀m`

`=>(2m+3)^2+12>0∀m`

`=>Δ>0`

vì pt luôn có 2 nghiệm phân biệt 

áp dụng định lí vi ét ta có: 

$\begin{cases} x_{1} x_{2}=2m+1\\x_{1}x_{2}=2m+5\end{cases}$

ta có:`|`$\sqrt[]{x_{1}}$`-`$\sqrt[]{x_{2}}$ `|` 

`=`$(|\sqrt[]{x_{1}}-$$\sqrt[]{x_{2}}|)²$  

`=x_1-2`$\sqrt[]{x_{1}x_{2}}$ `+x_2`

`=x_1+x_2-2`$\sqrt[]{x_{1}x_{2}}$

`=2m+5-2`$\sqrt[]{2m+1}$  

`=2m+1-2`$\sqrt[]{2m+1}$ `+1+3`

`=(`$\sqrt[]{2m+1}$ `-1)^2+3`

vì $(\sqrt[]{2m+1}$ `-1)^2>=0(∀m)`

`=>`$(\sqrt[]{2m+1}$ `-1)^2+3>=3`

`=>`$min_{|\sqrt[]{x_{1}}|-|\sqrt[]{x_{2}} | }$

`<=>`$(\sqrt[]{2m+1}$ `-1)^2=0`

`<=>`$\sqrt[]{2m+1}$ `-1=0`

`<=>`$(\sqrt[]{2m+1}$ `=1`

`<=>2m+1=1`

`<=>m=0`

vậy $min_{|\sqrt[]{x_{1}}|-|\sqrt[]{x_{2}} | }$ `=`$\sqrt[]{3}$` <=>m=0`