Cho pt: `x^3-(m+1)x^2-3x+m+3=0`. Tìm `m` để pt có `3` nghiệm phân biệt `x_1; x_2; x_3` và tính GTNN của `P=1/(x_1+1)^4+1/(x_2+1)^4+1/(x_3+1)^4`

0 bình luận về “Cho pt: `x^3-(m+1)x^2-3x+m+3=0`. Tìm `m` để pt có `3` nghiệm phân biệt `x_1; x_2; x_3` và tính GTNN của `P=1/(x_1+1)^4+1/(x_2+1)^4+1/(x_3+1)^4`”

1. Đáp án: $m=-2$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $x^3-(m+1)x^2-3x+m+3=0$

   $\to (x^3-3x+2)-((m+1)x^2-(m+1))=0$

   $\to (x-1)^2(x+2)-(m+1)(x-1)(x+1)=0$

   $\to (x-1)((x-1)(x+2)-(m+1)(x+1))=0$

   $\to (x-1)(x^2-mx-m-3)=0(*)$

   $\to$Phương trình có nghiệm $x=1$ và $2$ nghiệm thỏa mãn $x^2-mx-m-3=0$

   Giả sử $x_3=1$

   Để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt

   $\to (*)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1$

   $\to \begin{cases}\Delta>0\\ 1^2-m\cdot 1-m-3\ne 0\end{cases}$

   $\to \begin{cases}(-m)^2-4(-m-3)>0\\ m\ne -1\end{cases}$

   $\to \begin{cases}(m+2)^2+8>0\text{ luôn đúng}\\ m\ne -1\end{cases}$
   $\to m\ne -1$

   Khi đó $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2-mx-m-3$ thỏa mãn

   $\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-m-3\end{cases}$

   $\to x_1x_2=-(x_1+x_2)-3$

   $\to x_1+x_2+x_1x_2=-3$

   $\to x_1+x_2+x_1x_2+1=-2$

   $\to (x_1+1)(x_2+1)=-2$

   $\to (x_1+1)^2(x_2+1)^2=4$

   Ta có:

   $P=\dfrac1{(x_1+1)^4}+\dfrac1{(x_2+1)^4}+\dfrac1{(x_3+1)^4}$

   $\to P\ge \dfrac{2}{(x_1+1)^2(x_2+1)^2}+\dfrac1{(1+1)^4}$

   $\to P\ge \dfrac{2}{4}+\dfrac1{16}$

   $\to P\ge \dfrac9{16}$

   Dấu = xảy ra khi $(x_1+1)^2=(x_2+1)^2\to x_1+1=-(x_2+1)$ vì $x_1\ne x_2$

   $\to x_1=-x_2-2$

   $\to x_1+x_2=-2$

   $\to m=-2$

   Bình luận