cho pt bậc 2 ẩn x: x^2-2(m+1)x+m-4=0 (1)với m là tham số
a)c/m pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m thuộc R
b)cho h/s y=3x^2 (p) và đg thẳng y=2mx-1(d).Tìm m để đg thẳng (d) và (p) tiếp xúc.Tìm tọa độ tiếp điểm
cho pt bậc 2 ẩn x: x^2-2(m+1)x+m-4=0 (1)với m là tham số
a)c/m pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m thuộc R
b)cho h/s y=3x^2 (p) và đg thẳng y=2mx-1(d).Tìm m để đg thẳng (d) và (p) tiếp xúc.Tìm tọa độ tiếp điểm
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình ${x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4 = 0\left( 1 \right)$
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ‘ = {\left( { – \left( {m + 1} \right)} \right)^2} – \left( {m – 4} \right)\\
= {m^2} + m + 5\\
= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4}\\
\ge \dfrac{{19}}{4},\forall m\\
> 0,\forall m
\end{array}$
$ \Rightarrow \left( 1 \right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m\in R$
b) Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ và $y = 2mx – 1$ là:
$\begin{array}{l}
3{x^2} = 2mx – 1\\
\Leftrightarrow 3{x^2} – 2mx + 1 = 0\left( 2 \right)
\end{array}$
Để đường thẳng $y = 2mx – 1$ tiếp xúc parabol $y = 3{x^2}$
$ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có nghiệm kép
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ‘ = 0\\
\Leftrightarrow {\left( { – m} \right)^2} – 3.1 = 0\\
\Leftrightarrow {m^2} = 3\\
\Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3
\end{array}$
+) Nếu $m=\sqrt 3 $ khi đó $(2)$ trở thành:
$\begin{array}{l}
3{x^2} – 2x\sqrt 3 + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x\sqrt 3 – 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x\sqrt 3 – 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\
\Rightarrow y = 3{x^2} = 3{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 1
\end{array}$
$\to $ Tiếp điểm có tọa độ $\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }};1} \right)$
+) Nếu $m=-\sqrt 3 $ khi đó $(2)$ trở thành:
$\begin{array}{l}
3{x^2} + 2x\sqrt 3 + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x\sqrt 3 + 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x\sqrt 3 + 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }}\\
\Rightarrow y = 3{x^2} = 3{\left( {\dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 1
\end{array}$
$\to $ Tiếp điểm có tọa độ $\left( {\dfrac{-1}{{\sqrt 3 }};1} \right)$
Vậy 2 tiếp điểm có tọa độ là: $\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }};1} \right)$ và $\left( {\dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }};1} \right)$
Đáp án:
a)Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b)tọa độ hai tiếp điểm là :
$(\dfrac{1}{\sqrt{3}};1)$ và $(\dfrac{-1}{\sqrt{3}};-3)$
Giải thích các bước giải:
a) Từ phương trình $(1)$ ta có :
$\Delta’=(m+1)^2-m+4=m^2+m+5$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì :
$\Delta ‘>0$
$⇔m^2+m+5>0$
$⇔(m+\dfrac{1}{2})^2+5-\dfrac{1}{4}>0$
$⇔(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{19}{4}\geq \dfrac{19}{4}>0$
Do $(m+\dfrac{1}{2})^2\geq 0$ mà cộng thêm $\dfrac{19}{4}$ nên
$(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{19}{4}\geq \dfrac{19}{4}>0 \forall x$
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b)
Gọi phương trình hoành độ giao điểm $(p):y=3x^2$ và đường thẳng $(d):y=2mx-1$ là :
$3x^2=2mx-1$
$3x^2-2mx+1=0$
Từ trên ta có:
$\Delta ‘=(-m)^2-1.3=m^2-3$
Để đường thẳng $(d):y=2mx-1$ và parabol $(p):y=3x^2$ tiếp xúc với nhau thì
$\Delta ‘=0$
$⇔m^2-3=0$
$⇔(m-\sqrt{3}).(m+\sqrt{3})=0$
$\left[ \begin{array}{l}m=\sqrt{3}\\m=-\sqrt{3}\end{array} \right.$
Vậy với giá trị $m=\pm\sqrt{3}$ thì đường thẳng $(d):y=2mx-1$ và parabol $(p):y=3x^2$ tiếp xúc với nhau
Với $m=\sqrt{3}$ ta có :
Gọi phương trình hoành độ giao điểm $(p):y=3x^2$ và đường thẳng $(d):y=2\sqrt{3}x-1$ là :
$3x^2=2\sqrt{3}x-1$
$⇔3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$
$⇔(\sqrt{3}x-1)^2=0$
$⇔x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Với $x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ thì $y=1$
Tọa độ tiếp điểm thứ nhất $(\dfrac{1}{\sqrt{3}};1)$
Gọi phương trình hoành độ giao điểm $(p):y=3x^2$ và đường thẳng $(d):y=-2\sqrt{3}x-1$ là :
$3x^2=-2\sqrt{3}x-1$
$⇔3x^2+2\sqrt{3}x+1=0$
$⇔(\sqrt{3}x+1)^2=0$
$⇔x=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}$
Với $x=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}$ thì $y=1$
Tọa độ tiếp điểm thứ hai $(\dfrac{-1}{\sqrt{3}};1)$
Vậy tọa độ hai tiếp điểm là :
$(\dfrac{1}{\sqrt{3}};1)$ và $(\dfrac{-1}{\sqrt{3}};1)$