Cho số phức $z$ thỏa mãn $5|z-i|=|z+1-3i|+3|z-1+i|$.Tìm giá trị lớn nhất $M$ của $|z-2+3i|?$
0 bình luận về “Cho số phức $z$ thỏa mãn $5|z-i|=|z+1-3i|+3|z-1+i|$.Tìm giá trị lớn nhất $M$ của $|z-2+3i|?$”
Đáp án:
Max $|z-3+3i|= 4\sqrt 5$
Giải thích:
Gọi $A(-1;3),B(1;-1),C(0;1)=>C$ là trung điểm $AB$
MC là đường trung tuyến của tam giác ABM. $=>MC^2=\frac{MA^2+MB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}$ ( độ dài đường trung tuyến)
$=>MA^2+MB^2=2MC^2+10$ Ngoài ra: $5|z-i|=|z+1-3i|+3|z-1+i|=>5MC=MA+3MB≤\sqrt{10}.\sqrt{MA^2+MB^2}$ $=>25MC^2≤10.(2MC^2+10) =>MC≤2\sqrt{5}$ ( BĐT Bunhia) Mà $|z-2+3i|=|z-i+(-2+4i)|≤|z-i|+|-2+4i|≤MC+2\sqrt{5}≤4\sqrt{5}$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $z=-2+5i$
Đáp án:
Max $|z-3+3i|= 4\sqrt 5$
Giải thích:
Gọi $A(-1;3),B(1;-1),C(0;1)=>C$ là trung điểm $AB$
MC là đường trung tuyến của tam giác ABM.
$=>MC^2=\frac{MA^2+MB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}$ ( độ dài đường trung tuyến)
$=>MA^2+MB^2=2MC^2+10$
Ngoài ra:
$5|z-i|=|z+1-3i|+3|z-1+i|=>5MC=MA+3MB≤\sqrt{10}.\sqrt{MA^2+MB^2}$
$=>25MC^2≤10.(2MC^2+10) =>MC≤2\sqrt{5}$ ( BĐT Bunhia)
Mà $|z-2+3i|=|z-i+(-2+4i)|≤|z-i|+|-2+4i|≤MC+2\sqrt{5}≤4\sqrt{5}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $z=-2+5i$