Cho số phức z thỏa mãn |z-3-4i|=căn 5 và biểu thức P=|z+2|^2-|z-i|^2 đạt giá trị lớn nhất. Tính |z+i|

0 bình luận về “Cho số phức z thỏa mãn |z-3-4i|=căn 5 và biểu thức P=|z+2|^2-|z-i|^2 đạt giá trị lớn nhất. Tính |z+i|”

1. Đáp án: $ |z + i| = \sqrt{61} $

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt $: z = a + bi ⇔ z – 3 – 4i = (a – 3) + (b – 4)i$

   $ |z – 3 – 4i| = \sqrt{5} ⇔ |z – 3 – 4i|² = 5$

   $ ⇔ (a – 3)² + (b – 4)² = 5 (1)$

   $ z + 2 = (a + 2) + bi $

   $ ⇒ |z + 2|² = (a + 2)² + b² = a² + b² + 4a + 4 (2)$

   $ z – i = a + (b – 1)i $

   $ ⇒ |z – i|² = a² + (b – 1)² = a² + b² – 2b + 1(3)$

   Lấy $: (2) – (3)$ và áp dụng BĐT Bunnhiacopsky có:

   $P = |z + 2|² – |z – i|² = 4a + 2b + 3 $

   $ = 4(a – 3) + 2(b – 4) + 23$

   $ ≤ \sqrt{(4² + 2²)[(a – 3)² + (b – 4)²]} + 23$

   $ = \sqrt{20.5} + 23 = 10 + 23 = 33 (4)$

   $ ⇒ GTLN $ của $P = 33 $ đạt đượckhi:

   $ \dfrac{a – 3}{4} = \dfrac{b – 4}{2}⇔ a – 3 = 2(b – 4)$ 

   Thay vào $(1) : 4(b – 4)² + (b – 4)² = 5 $

   $ ⇔ b – 4 = ± 1 ⇒ a – 3 = ± 2$

   Thay vào $(4) ⇒ a = b = 5 (TM)$

   Khi đó : $ z + i = a + (b + 1)i$

   $ ⇒ |z + i| = \sqrt{a² + (b + 1)²} = \sqrt{61} $

   Bình luận