Toán Cho số phức z thỏa mãn |z| = 3 Tìm z de P= |z – 1| max 02/08/2021 By Autumn Cho số phức z thỏa mãn |z| = 3 Tìm z de P= |z – 1| max
Đáp án: `z=-3` thì `P_{max}=4` Giải thích các bước giải: Đặt `z=a+bi\ (a;b\in RR)` Vì `|z|=3=>\sqrt{a^2+b^2}=3` `=>a^2+b^2=9` `=>|a|\le 3; |b|\le 3` Ta có: `\qquad z-1=a+bi-1=a-1+bi` `=>|z-1|=\sqrt{(a-1)^2+b^2}` `=\sqrt{a^2+b^2+1-2a}=\sqrt{9+1-2a}` `=\sqrt{10-2a}` Đặt `y=f(a)=\sqrt{10-2a}` `(a\in [-3;3])` `=>y’={(10-2a)’}/{2\sqrt{10-2a}}` `=-2/{2\sqrt{10-2a}}=-1/{\sqrt{10-2a}}<0` với mọi $a$ `=>` Hàm số luôn nghịch biến trên `[-3;3]` `=>f(3)\le f(a)\le f(-3)` với mọi `a\in [-3;3]` `=>\sqrt{10-2.3}\le f(a)\le \sqrt{10-2.(-3)}` `=>2\le f(a)\le 4` `=>f(a)_{max}=4` khi `a=-3=>b=0“ `=>z=a+bi=-3+0i=-3` Vậy `z=-3` thì `P=|z-1|` có $GTLN$ bằng $4$ Trả lời
Đáp án:
`z=-3` thì `P_{max}=4`
Giải thích các bước giải:
Đặt `z=a+bi\ (a;b\in RR)`
Vì `|z|=3=>\sqrt{a^2+b^2}=3`
`=>a^2+b^2=9`
`=>|a|\le 3; |b|\le 3`
Ta có:
`\qquad z-1=a+bi-1=a-1+bi`
`=>|z-1|=\sqrt{(a-1)^2+b^2}`
`=\sqrt{a^2+b^2+1-2a}=\sqrt{9+1-2a}`
`=\sqrt{10-2a}`
Đặt `y=f(a)=\sqrt{10-2a}` `(a\in [-3;3])`
`=>y’={(10-2a)’}/{2\sqrt{10-2a}}`
`=-2/{2\sqrt{10-2a}}=-1/{\sqrt{10-2a}}<0` với mọi $a$
`=>` Hàm số luôn nghịch biến trên `[-3;3]`
`=>f(3)\le f(a)\le f(-3)` với mọi `a\in [-3;3]`
`=>\sqrt{10-2.3}\le f(a)\le \sqrt{10-2.(-3)}`
`=>2\le f(a)\le 4`
`=>f(a)_{max}=4` khi `a=-3=>b=0“
`=>z=a+bi=-3+0i=-3`
Vậy `z=-3` thì `P=|z-1|` có $GTLN$ bằng $4$
Ok