Cho số thực x > -1. Chứng minh rằng (1 + x)n ≥ 1 + nx(1) với mọi n nguyên dương. Giúp mik vs ạ ! 22/08/2021 Bởi Daisy Cho số thực x > -1. Chứng minh rằng (1 + x)n ≥ 1 + nx(1) với mọi n nguyên dương. Giúp mik vs ạ !
Đáp án: Tham khảo Giải thích các bước giải: $(1+x)^{n}≥(1+xn). (1)$ $+)n=0 thì (1+x)^{o}=1=1+0.x(Đúng)$ $+)n=1 thì (1+x)^{1}=1+x=1+1x (Đúng)$ $+)n>1$$\text{ Giả sử (1) đúng với n=k tức là $(1+x)^{k}≥(1+kn)$}$ $\text{Ta cần đi cm là (1) đúng vói n=k+1}$ $\text{Tức là:$ (1+n)^{k+1}≥[1+(k+1)n]$}$$\text{Ta có:$(x+1)(1+x)^{k}≥(x+1)(1+kx)$}$ $(x+1)(1+x)^{k}≥x+kx²+kx+1$ $(x+1)(1+x)^{k}≥1+kx+x ∀x>1$$\text{Vậy nên $(1+n)^{k}≥1+nx$}$ Bình luận
Bài Làm : Với n=1 ta có (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x. Vậy (1) đúng vơi n = 1. Giả sử (1) đúng vơi n=k, ta chứng minh nó đúng với n = k + 1. Thật vậy, từ giải thiết quy nạp và x > -1 ta có: (1 + x)k + 1 = (1 + x).(1 + x)k ≥ (1 + x)(1 + kx) = 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bình luận
Đáp án:
Tham khảo
Giải thích các bước giải:
$(1+x)^{n}≥(1+xn). (1)$
$+)n=0 thì (1+x)^{o}=1=1+0.x(Đúng)$
$+)n=1 thì (1+x)^{1}=1+x=1+1x (Đúng)$
$+)n>1$
$\text{ Giả sử (1) đúng với n=k tức là $(1+x)^{k}≥(1+kn)$}$
$\text{Ta cần đi cm là (1) đúng vói n=k+1}$
$\text{Tức là:$ (1+n)^{k+1}≥[1+(k+1)n]$}$
$\text{Ta có:$(x+1)(1+x)^{k}≥(x+1)(1+kx)$}$
$(x+1)(1+x)^{k}≥x+kx²+kx+1$
$(x+1)(1+x)^{k}≥1+kx+x ∀x>1$
$\text{Vậy nên $(1+n)^{k}≥1+nx$}$
Bài Làm :
Với n=1 ta có (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x. Vậy (1) đúng vơi n = 1.
Giả sử (1) đúng vơi n=k, ta chứng minh nó đúng với n = k + 1.
Thật vậy, từ giải thiết quy nạp và x > -1 ta có:
(1 + x)k + 1 = (1 + x).(1 + x)k ≥ (1 + x)(1 + kx) = 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.