Cho số thực dương a,b,c thoã mãn : a+b+c=1 Tìm Min P=1/a^2+b^2+c^2 +1/abc

Giải thích các bước giải:

Ta có :

$ab+bc+ca\le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac 13$
$ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}$ 

$\to (ab+bc+ca)^3\ge 27(abc)^2$

$\to 27(abc)^2\le (ab+bc+ca)^2.\dfrac 13$

$\to abc\le \dfrac{1}{9}(ab+bc+ca)$

$\to P\ge \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}$

$\to P\ge \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}$

$\to P\ge \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}$

$\to P\ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2}+\dfrac{7}{\dfrac 13}=30$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\dfrac 13$