Cho tam giác ABC cân tại A.2 đường phân giác BE và CD.Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên
Cho tam giác ABC cân tại A.2 đường phân giác BE và CD.Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên
Giải thích các bước giải:
ΔABC cân tại A (gt)
⇒ $\left \{ {{AB = AC } \atop {góc ABC = góc ACB }} \right.$ ( Tính chất tam giác cân )
Vì BD, CE lần lượt là phân giác góc ABC và góc ACB ( gt )
⇒ $\left \{ {{B_{1} = B_{2} = \frac{góc ABC }{2}}\atop{C_{1} = C_{2} = \frac{góc ACB }{2}}} \right.$ ( Tính chất tia hân giác )
Mà góc ABC = góc ACB ( chứng minh trên )
⇒ˆB1 = ˆB2 = ˆC1 = ˆC2
Xét ΔABD và ΔACE có:
+) AB=AC (chứng minh trên)
+) ˆA chung
+) ˆB1=ˆC1 (chứng minh trên)
⇒ΔABD=ΔACE(g.c.g)
⇒AD=AE (22 cạnh tương ứng).
Ta có AD=AE (chứng minh trên) nên ΔADE cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
⇒ˆAED=ˆADE^(tính chất tam giác cân)
Xét ΔADE có: ˆAED+ˆADE+ˆA=180 (định lý tổng ba góc trong tam giác)
⇒2ˆAED+ ˆA =1800 ⇒ ˆAED=1800−ˆA2(1)
Xét ΔABC có: ˆA+ˆABC+ˆACB=180 (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Mà ˆABC =ˆACB(chứng minh trên)
⇒ˆ2ABC+ˆA=1800⇒ˆABC=1800−ˆA2(2)
Từ (1) và (2) ⇒ˆAED = ˆABC, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE//BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Do đó BEDClà hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).
Lại có ˆABC^ = ˆACB^ (chứng minh trên)
Nên BEDC là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
Ta có:
DE//BC⇒ˆD1=ˆB2 (so le trong)
Lại có ˆB2 = ˆB1 (chứng minh trên) nên ˆB1 = ˆD1
⇒ΔEBD cân tại E(dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
⇒EB=ED (tính chất tam giác cân).
Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên