Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AH,BK,CI. Đường thẳng đi qua C song song BK cắt AB tại M
a, Chứng minh $AB^{2}$ = AI.AM
B, Chứng minh $\frac{1}{BK^{2}}$ = $\frac{1}{4.AH^{2}}$ + $\frac{1}{BC^{2}}$
Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AH,BK,CI. Đường thẳng đi qua C song song BK cắt AB tại M
a, Chứng minh $AB^{2}$ = AI.AM
B, Chứng minh $\frac{1}{BK^{2}}$ = $\frac{1}{4.AH^{2}}$ + $\frac{1}{BC^{2}}$
Bạn tự vẽ hình nhé!
a, xét ΔABC cân tại A => AB= AC
Có BK ⊥ AC
CM// BK
=> CM ⊥AC
Xét ΔACM vuông tại C
=> AC²= AI. AM
Mà AC= AB
=> AB²= AI.AM
b, Kẻ HO ⊥ AC
Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao
=> AH là đưuòng trung tuyến
=> H là trung điểm BC
Có H là tđ BC => BC= 2.BH= 2.HC
Có HO ⊥ AC
BK ⊥ AC
=> HO// BK
Xét ΔBKC có HO// BK, H là tđ BC
=> O là tđ KC
Xét ΔBKC, có H,O là tđ của BC, KC
=> OH là đường trung bình
=> 2.OH= BK
=> 4.OH²= BK²
Xét ΔAHC vuông tại H
=> $\frac{1}{HO²}$ = $\frac{1}{AH²}$+ $\frac{1}{HC²}$
=> $\frac{1}{4HO²}$ = $\frac{1}{4AH²}$+ $\frac{1}{4HC²}$
Mà BC= 2.HC => BC²= 4.HC²
=> $\frac{1}{4HO²}$ = $\frac{1}{4AH²}$+ $\frac{1}{BC²}$
Mà 4.OH²= BK²
=> $\frac{1}{BK²}$ = $\frac{1}{4AH²}$+ $\frac{1}{BC²}$
a) Ta có: $CM//BK \, (gt)$
mà $BK\perp AC \, (gt)$
nên $CM\perp AC$
Xét $∆IAC$ và $∆CAM$ có:
$\widehat{CIA} = \widehat{MCA} = 90^o$
$\widehat{BAC}:$ góc chung
Do đó $∆IAC\sim ∆CAM \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AC}{AM} = \dfrac{AI}{AC}$
$\Rightarrow AC^2 = AI.AM$
mà $AC = AB \,(gt)$
$\Rightarrow AB^2 = AI.AM$
b) Gọi $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $A$
$\Rightarrow AC = AN = AB$
$\Rightarrow ∆BNC$ vuông tại $B$
$\Rightarrow AH//BN \, (\perp BC)$
mà $AC = AN$
$\Rightarrow AH$ là đường trung bình
$\Rightarrow BN = 2AH$
Áp dụng hệ thức lượng vào $∆BNC$ vuông tại $B$, đường cao $BK$, ta được:
$\dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{BN^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{(2AH)^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{4AH^2}$