Cho tam giác ABC cân tại A có BM, CN là các đường phân giác. Chứng minh rằng:
a) MN // BC .
b, 1/BC +1/AB= 1/MN.
Cho tam giác ABC cân tại A có BM, CN là các đường phân giác. Chứng minh rằng:
a) MN // BC .
b, 1/BC +1/AB= 1/MN.
giải
a) Xét tam giác ABC cóCN là p/g góc C(gt)
=>NB/AN=BC/AC(t/c đường p/g trong tam giác)
Chứng minh tương tự có tam giác ABC có BM là p/g góc B
=>MC/AM=BC/AB(t/c đường p/g trong tam giác)
Mà AB=AC(tam giác ABC là tam giác cân)
=>NB/AN=MC/AM(=BC/AB)
Xét tam giác ABC có
NB/AN=MC/AM(cmt)
=>MN//BC(định lí Talet đảo)
b)1/BC+1/AB=1/MN
<=>MN/BC+MN/AB=1(cả 2 vế cùng nhân với MN)
có MN//BC(câu a)
=>NMB=MBC(so le trong)
mà MBC=MBN(BM là p/g góc B)
=>NMB=NBM
=>tam giác NMB cân tại N(dhnb)
=>NB=NM(t/c)
tam giác ABC có MN//BC(câu a)
=>MN/BC=AN/AB(hệ quả định lý talet)
=>MN/BC+MN/AB=AN/AB+NB/AB=AN+NB/AB=AB/AB=1(đpcm)
a) `Δ ABC` có `BM` là đường phân giác
`=>` ${\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)
Tương tự ta có : ${\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{AC}{BC}}$
Mà `AB=AC` ( do `ΔABC` cân tại A )
`=>` ${\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}}$
Suy ra : ${\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AN}{NB}}$
`ΔABC` có : ${\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AN}{NB}}$
`=>` `MN // BC` ( định lí Ta-lét đảo )
b) Ta có : $\widehat{MNC}=\widehat{BCN}$ ( 2 góc so le trong do `MN//BC` )
Mà $\widehat{MCN}=\widehat{NCB}$ (do `CN` là đường phân giác của `Δ ABC`)
`=>` $\widehat{MCN}=\widehat{MNC}$
`=>` `Δ MNC` cân tại M
`Δ ABC` có `MN//BC` (cmt)
`=>` ${\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}}$ (hệ quả định lí Ta-lét)
`=>` ${\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AC-CM}{AC}}$
Mà `MN=MC` (do `Δ MNC` cân tại M)
`=>` ${\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AC-NM}{AC}}$
`=>` ${\dfrac{MN}{BC}=1-\dfrac{MN}{AC}}$
`=>` ${ MN.\bigg(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}\bigg)=1}$
`=>` ${ \dfrac{1}{MN}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}}$