Cho tam giác ABC cân tại A, có cạnh BC là cạnh lớn nhất. Các đường trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MG lấy điểm D sao cho M là trung điểm của đoạn GD.
1. Chứng minh ∆BMG = ∆CMD, từ đó chứng minh BG song song với CD.
2. Chứng minh 3CD = 2BN.
3. Chứng minh CN < CD
Đáp án:
1.$\Delta BMG=\Delta CMD$ ; $BG//CD$
2.3CD = 2BN.
3.CN < CD
Giải thích các bước giải:
1.Vì $\Delta ABC$ cân tại A (gt)
mà AM là đường trung tuyến (gt)
$\Rightarrow AM$ là đường cao của $\Delta ABC$
$\Rightarrow AM\perp BC$
Xét $\Delta BMG$ và $\Delta CMD$ có:
BM=CM (gt)
$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}(=90^{0})$
GM=MD (gt)
$\Rightarrow \Delta BMG=\Delta CMD$ (hai cạnh góc vuông) (*)
$\Rightarrow \widehat{MBG}=\widehat{MCD}$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow BG//CD$
2.Xét $\Delta ABC$ có:
Trung tuyến AM cắt trung tuyến BN tại G
$\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$
$\Rightarrow \frac{BG}{BN}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow 3BG=2BN$
Từ (*)$\Rightarrow BG=CD$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow 3BG=3CD=2BN\Leftrightarrow 3CD=2BN$
3.Xét $\Delta MCD$ vuông tại M có:
$\widehat{M}$ lớn nhất $\Rightarrow CD$ lớn nhất
$\Rightarrow CD>MC$ (1)
mà $\Delta ABC$ có: BC lớn nhất
$\Rightarrow BC>AC$
$\Rightarrow \frac{BC}{2}>\frac{AC}{2}$
$\Rightarrow MC>NC$ (2)
Từ (1) và (2)$\Rightarrow$ CN<CD