Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC nhọn. Qua A vẽ tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Đường trung tuyến CE của tam giác ABC cắt cạnh AD tại G.
a) Chứng minh ΔABD = ΔACD.
b). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC và GB=GC .
c) AD > BD.
d) Trên tia đối của tia EB lấy điểm K sao cho G là trung điểm của BK. Gọi F là trung điểm của CK và GF cắt AC tại I . Chứng minh AC=3CI.
Đáp án + Giải thích:
a, Ta có: tam giác ABC cân tại A (gt)
=> AB = AC ; góc ABC = góc ACB (ĐL)
Xét tam giác ACD và tam giác ABD có:
AD cạnh chung ; góc BAD = góc CAD (vì AD là tia p/g của góc BAC) ; AB = AC (cmt)
=> Tam giác ACD = tam giác ABD (c.g.c) (đpcm)
b, Xét tam giác ABC cân tại A có: AD là tia p/g của góc BAC (gt)
=> AD là cũng đường trung tuyến
Ta có: 2 đường trung tuyến CF và AD cắt nhau tại G
=> G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm)
c, Xét tam giác DEH và tam giác CEH có:
Góc DHE = góc CHE (=90 độ) ; EH cạnh chung ; DH = CH (vì H là TĐ của CD)
=> Tam giác DEH = tam giác CEH (c.g.c)
=> DE = CE (2 cạnh t/ứ)
Xét tam giác CDE có CE = DE => tam giác CDE cân tại E (DHNB) (đpcm)
d, Xét tam giác ABG và tam giác ACG có:
AG cạnh chung ; góc BAG = góc CAG ; AB = AC (cmt)
=> Tam giác ABG = tam giác ACG (c.g.c)
=> Góc ABG = góc ACG (2 góc t/ứ)
BG = CG (2 cạnh t/ứ)
Xét tam giác BFG và tam giác CEG có:
BG = CG (cmt) ; góc BGF = góc CGE (2 góc đđ) ; góc FBG = góc ECG (cmt)
=> Tam giác BFG = tam giác CEG (g.c.g)
=> BF = CE (2 cạnh t/ứ)
Mà BF = AB : 2 (vì F là TĐ của AB)=> CE = AB : 2
Vì AB = AC (cmt) nên CE = AC : 2
=> BE là đường trung tuyến của tam giác ABC
=> 3đ B, G, E thẳng hàng (vì G là trọng tâm của tam giác ABC) (1)
Lại có: AD là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A
=> AD cũng là đường cao của tam giác ABC
Mà góc BAD = góc BAC : 2
góc BAC < 90 độ
=> Góc BAD < 45 độ
=> Góc ABD > 45 độ
=> Góc BAD < góc ABD
Xét tam giác ABD có: góc BAD < góc ABD
=> BD < AD (ĐL) (2)
Từ (1), (2) ta có đpcm