Cho tam giác ABC cân tại A ( góc A <90° ) các đg cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt AC và EC theo thứ tự tại P và M. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB theo thứ tự Q và N. C/m a, Góc ABD = Góc ACE b,BH = CH c,Tam giác BOC vuông cân d, MNPQ là hình vuông
a) Xét tam giác vuông AEC và tam giác vuông ADB có
$AC = AB$ (tam giác ABC cân tại A), $\widehat{A}$ chung.
Vậy tam giác vuông AEC = tam giác vuông ADB (ch.gn)
SUy ra $\widehat{ACE} = \widehat{ABD}$.
b) Do tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$
Lại có $\widehat{ACE} = \widehat{ABD}$. Suy ra
$\widehat{ABC} – \widehat{ABD} = \widehat{ACB} – \widehat{ACE}$
$<-> \widehat{HBC} = \widehat{HCB}$
Vậy tam giác HBC cân tại H. Suy ra BH = CH.
c) Do BP là phân giác của $\widehat{ABD}$ nên
$\widehat{ABP} = \widehat{PBD} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABD}$
CMTT ta cx có
$\widehat{ACN} = \widehat{NCE} = \dfrac{1}{2} \widehat{ACE}$.
Lại có $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ nên
$\widehat{ABP} = \widehat{PBD} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABD} = \widehat{ACN} = \widehat{NCE} = \dfrac{1}{2} \widehat{ACE}$.
Xét tam giác BME vuông tại E có
$\widehat{EBM} + \widehat{EMB} = 90^{\circ}$
Lại có $\widehat{EBM} = \widehat{NCM}$, $\widehat{EMB} = \widehat{OMC}$ nên
$\widehat{NCM} + \widehat{OMC} =90^{\circ}$
Xét tam giác OMC có
$\widehat{MOC} = 180^{\circ} -\widehat{NCM} – \widehat{OMC}$
$<-> \widehat{MOC} = 90^{\circ}$.
Vậy tam giác OBC vuông tại O.
Mặt khác, ta lại có $\widehat{HBC} = \widehat{HCB}$ (tam giác BHC cân tại H). Suy ra
$\widehat{OBD} + \widehat{DBC} = \widehat{OCE} + \widehat{ECB}$
$<-> \widehat{OBC} = \widehat{OCB}$
Vậy tam giác BOC cân tại O.
Do đó tam giác BOC vuông cân tại O.
d) Xét tam giác ACN và ABP có
$\widehat{ACN} = \widehat{ABP}$, $AC = AB$, $\widehat{A}$ chung.
Vậy tam giác ACN = tam giác ABP (g.c.g)
Suy ra CN = BP.
Lại có OB = OC, suy ra
$CN – CO = BP – BO$
$<-> ON = OP$.
Lại có $\widehat{NOP} = 90^{\circ}$
Suy ra $\widehat{ONP} = 45^{\circ}$.
Ta có tam giác ABD = tam giác ACE nên BD = CE.
Lại có tam giác HBC cân tại H nên HB = HC. Suy ra
$BD – BH = CE – CH$
$<-> DH = HE$
Xét tam giác HEB và HDC có
$HB = HD$, $\widehat{EHB} = \widehat{DHC}$ (đối đỉnh), $HB = HC$.
Vậy tam giác HEB = tam giác HDC (c.g.c)
Lại có BM và CQ là 2 đường phân giác tương ứng của 2 đỉnh nên suy ra BM = CQ.
Mặt khác, ta có OB = OC nên
$OB – BM = OC – CQ$
$<-> OM = OQ$.
Lại có $\widehat{MOQ} = 90^{\circ}$
Vậy tam giác OMQ vuông cân tại O, suy ra $\widehat{OQM} = 45^{\circ}$.
Lại có $\widehat{ONP} = 45^{\circ}$ và 2 góc ở vị trí so le trong nên NP//MQ.
Xét tam giác PBC có $CO \perp BP, BD \perp PC$ và $CO \cap BD = Q$.
Do đó Q là trực tâm tam giác PBC, suy ra $PQ \perp BC$.
CMTT ta cx có $NM \perp BC$.
Vậy $PQ//MN$ (cùng vuông góc BC).
Xét tứ giác MNPQ có $MN//PQ, NP//MQ$ do đó là hình bình hành.
Lại có $MP \perp NQ$ nên tứ giác này là hình thoi.
Suy ra OP là phân giác của $\widehat{NPQ}$.
Lại có $\widehat{NPO} = 45^{\circ}$ (tam giác ONP vuông cân tại O).
Suy ra $\widehat{NPQ} = 2\widehat{NPO} = 90^{\circ}$.
Xét hình thoi MNPQ có $\widehat{NPQ} = 90^{\circ}$.
Do đó MNPQ là hình vuông.