Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm củaBC,CA,AB .Chứng minh BCEF alf hình thang cân ? AeDF là hình thoi? BDEF là hình bình hành ? Be cắt CF ở G .vẽ các điểm M,N sao cho E là trung điểm của GN,là trung điểm của GM .Chứng minh BCNM là hình chữ nhật ,AMGN là hình thoi ?Chứng minh AMBN là hình thang.Nếu AMBN là hình thang cân thì tam giác ABC có thêm đặc điểm gì
Giải thích các bước giải:
Vì E,F là trung điểm của AC, AB
=> EF là đường trung bình của tam giác ABC, CE=1/2CA, BF=1/2AB (1)
=> EF//BC
Vì EF//BC=> BCEF là hình thang (3)
Vì tam giác ABC cân tại A
=> AB=AC (2)
Từ (1), (2)
=> BF=CE (4)
Từ (3), (4)
=> BCEF là hình thang cân
Vì D, E là trung điểm của BC, AC
=> DE là đường trung bình của tam giác ABC
=> DE//AB
Tương tự DF//AC
=> AFDE là hình bình hành
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có BDEF là hình bình hành
Vì BE cắt CF ở G
=> G là trọng tâm tam giác ABC
=> GE=1/2BG, FG=1/2GC (5)
Vì E là trung điểm GN
=> EG=1/2GN (6)
Từ (5), (6)
=> GN=BG
tương tự ta có GC=GM
Tứ giác BCNM có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
=> BCNM là hình binh hành
chứng minh được AGCN là hình bình hành vì nó có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng
=> AG//CN
Mà AG vuông với BC
=> CN vuông góc BC
=> BCNM là hình chữ nhật