cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) , gọi D là trung điểm AB E là trọng tâm của tam giác ACD , chứng minh OE vuông góc với CD
cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) , gọi D là trung điểm AB E là trọng tâm của tam giác ACD , chứng minh OE vuông góc với CD
ccyyncyQuan tâm
Bạn xem thử nha!!!!
Kẻ trung tuyến DN của tam giác ACD , chúng cắt nhau ở E . Gọi G là giao điểm của CD và AO
có DE/DN = 2/3
gọi K là trung điểm CD, thấy G là trọng tâm của tgiác ABC (vì tgiác cân nên AO đi qua trung điểm của BC) => DG = DC/3
=> DG = 2DK/3 => DG/DK = 2/3 = DE/DN => EG // NK
lại có NK // AD (đường trung bình) => EG // NK // AD // AB
mà OD _|_ AB => OD _|_ EG (1)
lại có DN // BC, AO _|_ BC => AO _|_ DN => OG _|_ DE (2)
từ (1) và (2) => G là trực tâm của tgiác ODE
=> OE_|_DG
<=> OE _|_ CD (dpcm)
NOTE : kÍ hiệu này _|_ nghĩa là vuông góc nha
Gọi $K$ là trung điểm cạnh $DC$
$N$ là trung điểm cạnh $AC$
$AK\cap DN=E\Rightarrow E$ là trọng tâm $\Delta ADC$
$\Rightarrow \dfrac{DE}{DN}=\dfrac{2}{3}$ (1)
Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh $A\Rightarrow AO$ là đường trung tuyến và có $CD$ là đường trung tuyến
$\Rightarrow $ Gọi $G=AO\cap CD\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC$
$\Rightarrow DG=\dfrac{DC}{3}=\dfrac{2DK}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{DG}{DK}=\dfrac{2}{3}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{DE}{DN}=\dfrac{DG}{DK}=\dfrac{2}{3}$
Theo định lý Ta-let suy ra $GE\parallel KN$ (3)
Có $KN$ là đường trung bình $\Delta ACD\Rightarrow KN\parallel AB$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $GE\parallel AB$ (5)
Mà $\Delta AOB$ cân đỉnh $O$ có $D$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow OD$ là trung tuyến cũng là đường cao $\Rightarrow DO\bot AB$ (6)
Từ (5) và (6) suy ra $DO\bot GE$ (*)
Mặt khác $DN$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow DN\parallel BC$
Mà $AO\bot BC$
$\Rightarrow AO\bot DN$ hay $GO\bot AN$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $\Delta DNK$ có $GO$ và $DO$ là hai đường cao $DO\cap GO=O$
$\Rightarrow O$ là trực tâm $\Delta DNK$
$\Rightarrow EO\bot DK$ hay $EO\bot DC$ (đpcm).