Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O). gọi M là 1 điểm bất kì trên cung nhỏ AC. trên tia BM lấy K sao cho MK=MC và trên tia BA lấy D sao cho AD=AC

a) CM: góc BAC = 2 góc BKC

Ta có: Góc BAC = góc BMC = $\frac{1}{2}$ cung BC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC) (1)

Mà: MK=MC (gt) ⇒ ΔCMK cân tại M

⇒ Góc MCK = góc MKC 

Góc BMC = góc MCK + góc MKC = 2 góc MKC (Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Góc BAC = 2 góc MKC

                    ⇒ góc BAC = 2 góc BKC (đpcm)

b) Ta có: AD=AC (gt) ⇒ ΔCAD cân tại A

⇒ Góc ADC = góc ACD 

Góc BAC = góc ADC + góc ACD = 2 góc ADC (Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

⇒ Góc BAC = 2 góc BDC

Mà: góc BAC = 2 góc BKC

⇒ Góc BDC = góc BKC

⇒ Tứ giác BCKD nội tiếp ( (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha$ )

c) Ta có: góc ABI = góc ACI (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Mà: góc ACI = góc ADI [ΔCAD cân (cmt)]

⇒ Góc ABI = góc ADI ⇒ ΔBID cân tại I, có AI là trung tuyến [vì AB=AD (cmt)] đồng thời là đường cao của ΔBID

⇒ Góc BAI = $90^{o}$ 

⇒ BI là đường kính (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn là góc vuông)

Mà: O là tâm đường tròn

⇒ B,O,I thẳng hàng

d) ΔBID cân tại I ⇒ ID=IB (đpcm)

Theo mik thì: Xác định tâm đường tròn ở câu (b) thì CM ở sau câu (c) thì hơn vì lúc này ta đã CM đc BI là đường kính.

⇒ Góc BCI = $90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn là góc vuông)

⇒ Góc BCD = $90^{o}$ 

Tứ giác BCKD có góc BCD = $90^{o}$ (cmt) ⇒ BD là đường kính (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn là góc vuông)

Có A là trung điểm [vì AC=AD mà AC=AB (ΔBAC cân tại A) ⇒ AB=AD]

⇒ A là tâm đường tròn của tứ giác nội tiếp BCKD.

Chúc bạn học tốt.