Cho tam giác ABC cân tại A, trên BC lấy điểm M. Vẽ ME, MF vuông góc với AC, AB. Kẻ đường cao CA, chứng minh:
a) Tam giác BFM đồng dạng với tam giác CEM.
b) Tam giác BHC đồng dạng với tam giác tam giác CEM
c) ME+MF không thay đổi khi M di động trên BC
Xem hình nhé
a. Xét \(\Delta BFM\)và \(\Delta CEM\) có:
\(\widehat{BFM}=\widehat{CEM}\left(=90^o\right)\)
\(\widehat{FBM}=\widehat{ECM}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
Do đó: \(\Delta BFM\) \(\infty\) \(\Delta CEM\) (g-g)
b. Xét \(\Delta BFM\) và \(\Delta BHC\) có:
\(\widehat{BFM}=\widehat{BHC}\left(=90^o\right)\)
\(\widehat{B}\left(chung\right)\)
Do đó: \(\Delta BFM\infty\Delta BHC\left(g-g\right)\)
Mà \(\Delta BFM\infty CEM\)
Do đó: \(\Delta BHC\infty\Delta CEM\)
c, Kẻ CK vuông góc với đường thẳng FM
Ta có: \(\Delta CEM=\Delta CKM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
\(\Rightarrow ME=MK\)
nên \(ME+MF=FK\)
Xét tứ giác HFKC có 3 góc vuông nên là HCN.
Do đó \(FK=CH\) không đổi.
Vậy ME + MF không thay đổi khi M di động trên BC.