Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia AB lấy D, trên tia AC lấy E sao cho AD=AE
a Chứng minh ABE=ACE.
b Gọi I là giao điểm của BE và CD. Chứng minh tam giác IBD= tam giác ICE .
c Tam giác IBDC là tam giác gì
d chứng minh AI là trung trực của DE
e Gọi M là trung điểm của BC chứng minh A,M,I thẳng hàng.
a) Xét $ΔABE$ và $ΔACD$ có:
$AB$=$AC$(do $ΔABC$ cân tại A)
$AE$=$AD$(do $ΔABC$ cân tại A)
$\widehat{A}$ là góc chung
⇒$ΔABE$=$ΔACD$(c.g.c)
b)Vì $ΔABE$=$ΔACD$(chứng minh ở câu a)
⇒$\widehat{ABE}$=$\widehat{ACD}$(hai góc tương ứng)
Vì $AB$=$AC$(do $ΔABC$ cân tại A)
và $AD$=$AE$(gt)
⇒$BD$=$CE$
Xét $ΔIBD$ và $ΔICE$ có:
$\widehat{IDB}$=$\widehat{IEC}$(góc ngoài của một tam giác)
$BD$=$CE$(c/m trên)
$\widehat{ABE}$=$\widehat{ACD}$(c/m trên)
⇒$ΔIBD$=$ΔICE$(g.c.g)
c)Vì $ΔIBD$=$ΔICE$(c/m ở câu b)
⇒$IB$=$IC$(hai cạnh tương ứng)
⇒$ID$=$IE$(hai cạnh tương ứng)
⇒$ΔIBC$ là tam giác cân(vì $IB$=$IC$)
⇒$ΔIDE$ là tam giác cân(vì $ID$=$IE$)
d)Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $DE$
Xét $ΔAIB$ và $ΔAIC$ có:
$AB$=$AC$(do $ΔABC$ cân tại $A$)
$IB$=$IC$(c/m ở câu b)
$AI$ là cạnh chung
⇒$ΔAIB$=$ΔAIC$(c.c.c)
⇒$\widehat{BAI}$=$\widehat{CAI}$(hai góc tương ứng)
Xét $ΔAHD$ và $ΔAHE$ có:
$AD$=$AE$(gt)
$\widehat{BAI}$=$\widehat{CAI}$(c/m trên)
$AH$ là cạnh chung
⇒$ΔAHD$=$ΔAHE$(c.g.c)
⇒$ID$=$IE$(hai cạnh tương ứng)(1)
⇒$\widehat{AID}$=$\widehat{AIE}$(hai góc tương ứng)
⇒$\widehat{AID}$+$\widehat{AIE}$=$180^{o}$ (kề bù)
⇒$\widehat{AID}$=$\widehat{AIE}$=$\frac{180^{o}}{2}$=$90^{o}$
⇒$\widehat{AID}$=$\widehat{AIE}$=$90^{o}$
⇒$AI$⊥$DE$(2)
Từ (1) và (2) ⇒$AI$ là đường trung trực của $DE$