cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng 100 độ. phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh BD + DA = BC

0 bình luận về “cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng 100 độ. phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh BD + DA = BC”

1. Lời giải:

   Ta có: $∆ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A}= 100^\circ$

   $\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^\circ – 100^\circ}{2}=40^\circ$

   Ta lại có: $BD$ là phân giác của $\widehat{B}$

   $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{CBD}=20^\circ$

   Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BD = BE$

   $\Rightarrow ∆BDE$ cân tại $B$

   $\Rightarrow \widehat{BDE}=\widehat{BED}=\dfrac{180^\circ – 20^\circ}{2}= 80^\circ$

   $\Rightarrow \widehat{DEC}= 180^\circ – 80^\circ= 100^\circ$

   $\Rightarrow \widehat{CDE}=180^\circ – (100^\circ + 40^\circ) = 40^\circ$

   $\Rightarrow ∆CDE$ cân tại $E$

   $\Rightarrow DE = CE\qquad (1)$

   Từ $D$ lần lượt kẻ $DH\perp AB;\, DK\perp BC$

   $\Rightarrow \begin{cases}\widehat{H}=\widehat{K}=90^\circ\\\widehat{DAH}=180^\circ – 100^\circ = 80^\circ\\DH = DK\quad \text{(tính chất đường phân giác)}\end{cases}$

   Xét $∆DHA$ và $∆DKE$ có:

   $\left.\begin{array}{l}\widehat{H}=\widehat{K}=90^\circ\quad \text{(cách dựng)}\\\widehat{DAH}=\widehat{DEK}=80^\circ\\DH=DK\quad (cmt)\end{array}\right\}$

   Do đó $∆DHA=∆DKE$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

   $\Rightarrow AD = EC\qquad (2)$

   Từ $(1)(2)\Rightarrow AD = CE$

   Do đó:

   $BD + DA = BE + EC = BC$

   Bình luận