Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: $\frac{cos^2A+cos^2B}{sin^2A+sin^2B}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$ (cot^2 A+ cot^2 B) (giúp em với ạ)

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Với mọi x, y > 0 ta có:

2√(xy) ≤ x + y ⇔ 4xy ≤ (x + y)² ⇔ 2/(x + y) ≤ (1/2)(1/x + 1/y) (*)

Áp dụng (*) với x = sin²A; y = sin²B ta có:

2/(sin²A + sin²B) ≤ (1/2)(1/sin²A + 1/sin²B)

⇔ 2/(sin²A + sin²B) – 1 ≤ (1/2)(1/sin²A + 1/sin²B) – 1

⇔ [(1 – sin²A) + (1 – sin²B)]/(sin²A + sin²B)  ≤ (1/2)[(1/sin²A – 1) + (1/sin²B – 1)]

⇔ (cos²A + cos²B)/(sin²A + sin²B)  ≤ (1/2)(cot²A + cot²B)