cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC). Gọi H là trực tâm của tam giác, O là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O a)cm tứ giác BHCD là hình bình hành b)gọi M là trung điểm của BC. Cm AH=2MO

Cho Tam Giác ABC Có 3 Góc Nhọn (AB

a) Ta có:

$O\in$ trung trực $AC\quad (gt)$

$\to OA = OC$

Lại có: $OA = OD =\dfrac12AD\quad (gt)$

$\to OA = OC = OD =\dfrac12AD$

$\to ∆ACD$ vuông tại $C$

$\to DC\perp AC$

mà $BH\perp AC$ ($H$ là trực tâm)

nên $DC//BH$

Chứng minh tương tự, ta được:

$DB//CH$

Xét tứ giác $BHCD$ có:

$DC//BH\quad (cmt)$

$DB//CH\quad (cmt)$

Do đó $BHCD$ là hình bình hành

b) Ta có:

$BHCD$ là hình bình hành

$\to BC$ và $DH$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà $M$ là trung điểm $BC$

nên $M$ là trung điểm $DH$

Lại có: $O$ là trung điểm $AD$ ($D$ đối xứng $A$ qua $O$)

Do đó $OM$ là đường trung bình của $∆AHD$

$\to AH = 2OM$