Cho Tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh: $sin^2.A+sin^2.B+sin^2.C > 2$

0 bình luận về “Cho Tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh: $sin^2.A+sin^2.B+sin^2.C > 2$”

1. Đáp án:

    $sin^2A+sin^2B+sin^2C>2$

   Giải thích các bước giải:

    Vẽ 3 đường cao $AD,BE,CF∈ΔABC $

   Xét $ΔABE$ và $ΔACF$

   $∠A$ chung

   $∠AEB=∠AFC=90^o$

   $⇒ΔABE≈ΔACF(g-g)$

   $⇒AB/AE=AC/AF$

   Xét $ΔAEF$ và $ΔABC$

   $AB/AE=AC/AF(cmt)$

   $∠A$ chung

   $⇒ΔAEF≈ΔABC(c-g-c)$

   $⇒$$\frac{S_{ΔAEF}}{S_{ΔABC}}=$ $\frac{AE^2}{AB^2}=cos^2A$ 

   Tương tự ta chứng minh $ΔBFD≈ΔBCA(c-g-c)$

   $⇒\frac{S_{ΔBFD}}{S_{ΔBCA}}=\frac{BF^2}{BC^2}=cos^2B$ 

   $ΔCDE≈ΔCAB(c-g-c)$

   $⇒$$\frac{S_{ΔCDE}}{S_{ΔCAB}}=$ $\frac{EC^2}{BC^2}=cos^2C$ 

   Mà $sin^2A+sin^2B+sin^2C=1-cos^2A+1-cos^2B+1-cos^2C$

   $⇒sin^2A+sin^2B+sin^2C=3-(cos^2A-cos^2B-cos^2C)$

   $⇒sin^2A+sin^2B+sin^2C>3-\frac{S_{ΔABC}}{S_{ΔABC}}$

   $⇒sin^2A+sin^2B+sin^2C>2$

   Bình luận