Phương trình đường thẳng đi qua $a(2;-1)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(a;b)$ làm vecto pháp tuyến có dạng $a(x-2)+b(y+1)=0\\ \Leftrightarrow ax+by-2a+b=0$ $\overrightarrow{u_{bc}}=(-7;-3)\Rightarrow \overrightarrow{n_{bc}}=(3;-7)$ Phương trình đường thẳng bc nhận $\overrightarrow{n_{bc}}=(3;-7)$ làm vecto pháp tuyến có dạng Do góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ}$ nên $cos\varphi =\frac{|a.3+b.(-7)|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{3^2+(-7)^2}}=cos60^{\circ}\\ \Leftrightarrow \frac{|3a-7b|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{58}}\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2|3a-7b|=\sqrt{58}.\sqrt{a^2+b^2}\\ \Leftrightarrow 4(9a^2-42ab+49b^2)=58(a^2+b^2)\\ \Leftrightarrow 36a^2-168ab+196b^2-58a^2-58b^2=0\\ \Leftrightarrow -22a^2-168ab+138b^2=0\\ \Leftrightarrow -11a^2-84ab+69b^2=0\\ \Leftrightarrow \frac{-11a^2}{b^2}-\frac{84a}{b}+69=0\\$ $\Leftrightarrow {\left [\begin{aligned} \frac{a}{b}=\frac{-42+29\sqrt{3}}{11} \Rightarrow a=-42+29\sqrt{3},b=11 \\ \frac{a}{b}=\frac{-42-29\sqrt{3}}{11} \Rightarrow a=-42-29\sqrt{3},b=11\end{aligned}\right.}$ Vậy $ (-42+29\sqrt{3})x+11y+95-58\sqrt{3}=0\\ (-42-29\sqrt{3})x+11y+95+58\sqrt{3}=0$
Đáp án:
$ (-42+29\sqrt{3})x+11y+95-58\sqrt{3}=0\\
(-42-29\sqrt{3})x+11y+95+58\sqrt{3}=0$
Giải thích các bước giải:
Phương trình đường thẳng đi qua $a(2;-1)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(a;b)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$a(x-2)+b(y+1)=0\\
\Leftrightarrow ax+by-2a+b=0$
$\overrightarrow{u_{bc}}=(-7;-3)\Rightarrow \overrightarrow{n_{bc}}=(3;-7)$
Phương trình đường thẳng bc nhận $\overrightarrow{n_{bc}}=(3;-7)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
Do góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ}$ nên
$cos\varphi =\frac{|a.3+b.(-7)|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{3^2+(-7)^2}}=cos60^{\circ}\\
\Leftrightarrow \frac{|3a-7b|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{58}}\frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2|3a-7b|=\sqrt{58}.\sqrt{a^2+b^2}\\
\Leftrightarrow 4(9a^2-42ab+49b^2)=58(a^2+b^2)\\
\Leftrightarrow 36a^2-168ab+196b^2-58a^2-58b^2=0\\
\Leftrightarrow -22a^2-168ab+138b^2=0\\
\Leftrightarrow -11a^2-84ab+69b^2=0\\
\Leftrightarrow \frac{-11a^2}{b^2}-\frac{84a}{b}+69=0\\$
$\Leftrightarrow {\left [\begin{aligned} \frac{a}{b}=\frac{-42+29\sqrt{3}}{11} \Rightarrow a=-42+29\sqrt{3},b=11 \\ \frac{a}{b}=\frac{-42-29\sqrt{3}}{11} \Rightarrow a=-42-29\sqrt{3},b=11\end{aligned}\right.}$
Vậy $ (-42+29\sqrt{3})x+11y+95-58\sqrt{3}=0\\
(-42-29\sqrt{3})x+11y+95+58\sqrt{3}=0$