Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn (C)tâm O bán kính R . Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H ( với E thuộc BK ,K thuộc AC )
a, C/m tứ giác ABEK nội tiếp đc trong một đường tròn
b, C/m CE.CB=CK.CA
c,C/m góc OCA=góc BAE
d, Cho B,C cố định và A di đọng trên (C) nhưng vẫn thoả mãn điều kiện tam giác ABC nhọn khi đó H thuộc một đường tròn (T) cố định . Xác định tâm I và tính bán kính r của đường tròn (T) , biết R=3cm
Giúp mình giải câu c với câu d nha
Mình cám ơn
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn (C)tâm O bán kính R . Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H ( với E thuộc BK ,K
By Eden
Đáp án:
1. Xét tứ giác ABEK có ˆAEB=ˆAKB=900AEB^=AKB^=900 ⇒ tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn đường kính AB.
2. Vì tứ giác ABEK nội tiếp nên ˆABC=ˆEKCABC^=EKC^ (cùng bù với ˆAKEAKE^)
Xét tam giác CAB và CEK có ˆACBACB^ chung, ˆABC=ˆEKCABC^=EKC^(cmt)
⇒ΔCAB∼ΔCEK(g.g)⇒CACE=CBCK⇒ΔCAB∼ΔCEK(g.g)⇒CACE=CBCK (các cạnh tương ứng)
⇒CE.CB=CK.CA⇒CE.CB=CK.CA
3. Kẻ OD ⊥ Ac tại D
Ta có ˆABC=12ˆAOCABC^=12AOC^(góc nội tiếp và góc ở tam cùng chắn cung AC)
ΔOACΔOAC cân tại O nên đường cao OD đồng thời là phân giác
⇒ˆAOD=12ˆAOC⇒AOD^=12AOC^
Suy ra ˆAOD=ˆABCAOD^=ABC^
Xét tam giác ABE và ADO có ˆAEB=ˆADO=900AEB^=ADO^=900 , ˆAOD=ˆABCAOD^=ABC^
⇒ΔABE∼ΔADO(g.g)⇒ˆBAE=ˆOAD⇒ΔABE∼ΔADO(g.g)⇒BAE^=OAD^
Mà ˆOAD=ˆOCAOAD^=OCA^(tam giác OAC cân tại O)
⇒ˆOCA=ˆBAE⇒OCA^=BAE^
4. Ta có ˆHBC=ˆFACHBC^=FAC^ (cùng phụ với ˆAHKAHK^)
Mà ˆFAC=ˆFBCFAC^=FBC^(2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC)
Suy raˆHBC=ˆFBCHBC^=FBC^.
Do đó tam giác BHF cân tại B (đường cao đồng thời là phân giác) nên BE là trung trực của HF.
Tương tự ta chứng minh được CE là trung trực của HF
⇒ BC là trung trực của HF hay H và F đối xứng nhau qua BC
⇒ Khi A chạy trên đường tròn sao cho tam giác ABC luôn là tam giác nhọn thì F chạy trên cung nhỏ BC
Mà H đối xứng F qua BC nên H chạy trên một cung tròn đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn (O) qua BC. Đường tròn đó có tâm I đối xứng O qua BC.
Suy ra r=R=3cm