Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.Chứng minh tứ giác BFECnội tiếpTi

Đáp án + Giải thích các bước giải :

       Xét tứ giác ABEK có :

              Góc AEB = góc AKB = 90 độ

 ⇒ tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn đường kính AB.
 Vì tứ giác ABEK nội tiếp 
               Góc ABC = góc EKC ( cùng bù với AKE )

         Xét tam giác CAB và CEK có :
                ACB chung
                Góc ABC = góc EKC ( chứng minh trên )
⇒ Δ CAB = Δ CEK ( g . g )

⇒ CACE = CBCK ( các cạnh tương ứng )
⇒ CE.CB = CK.CA
    Kẻ OD ⊥ Ac tại D
– Ta có :
            ABC = 12^AOC  ( góc nội tiếp và góc ở tam cùng chắn cung AC )
            Δ OAC cân tại O nên đường cao OD đồng thời là phân giác
⇒ AOD = 12^AOC
⇒ Góc AOD = góc ABC
        Xét tam giác ABE và ADO có :
             Góc AEB = góc ADO =90 độ
             Góc AOD = góc ABC
⇒Δ ABE = Δ ADO ( g . g )
⇒ Góc BAE = góc OAD
Mà Góc OAD = góc OCA ( Δ OAC cân tại điểm O )
⇒ Góc OCA = góc BAE
– Ta có Góc HBC = góc FAC ( cùng phụ với góc AHK )
   Mà Góc FAC = Góc FBC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC )
⇒ Góc HBC = Góc FBC.
Do đó tam giác BHF cân tại B ( đường cao đồng thời là phân giác )

Nên ⇒ BE là trung trực của HF.
Tương tự ta chứng minh được CE là trung trực của HF
⇒ BC là trung trực của HF hay H và F đối xứng nhau qua BC
⇒ Khi A chạy trên đường tròn sao cho tam giác ABC luôn là tam giác nhọn thì F chạy trên cung nhỏ BC
Mà H đối xứng F qua BC nên H chạy trên một cung tròn đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn ( O ) qua BC. Đường tròn đó có tâm I đối xứng O qua BC.
⇒ r=R = 3 cm 

                      Cho mik xin vote, cám ơn, câu trả lời hay nhất với ạ !