Cho tam giác ABC có ba góc nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với AC tại K.Cho tam giác ABC có ba góc nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi d là đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với AC tại K.Đường thẳng d cắt tiếp tuyến đi qua A của đường tròn (O) tại điểm M và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N (N khác B) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên BC a)cm tứ giác CNKH nội tiếp đt b)tính số đo góc KHC^ , biết số đo cung nhỏ BC bằng 120 độ c)cm KN.MN=1/2.(AM^2-AN^2-MN^2)
a) Tứ giác OBDC nội tiếp.
< OBD = < OCD = 900 …=> tứ giác OBDC nội tiếp.
b) Tính SBCD.
<\ OBD vuông B…=> BD = căn bậc hai của OD2 – OB2 =…= 4
MD = BD2 /OD = …= 16/5
MB = OB.BD/OD = … = 12/5
=> BC = 2MB = 2MC = 24/5
SBCD = BC.MD/2 = … = 192/5 (cm2)
c) Chứng minh: AB.AP = AQ.AC
< BAx = < BCA (…chắn cung AB)
Ax // PQ => < BAx = < APQ (so le trong)
nên < BCA = < APQ
Do đó <\ ABC đồng dạng <\ AQP => AB/AQ = AC/AP = BC/QP
=>AB.AP = AQ.AC.
d) Chứng minh: Góc PAD = góc MAC
Tia DB cắt Ax tại E; < ABE = < ACB = <BAE (…chắn cung AB)
mà < ACB = < APQ (cmt) và < ABE = < PBD (…đối đỉnh)
nên < APD = < PBD => <\ BPD cân tại D => DB = DP
Tia DC cắt Ax tại F;< ACF = <ABC = <FAC (…chắn cung AC)
mà <FAC = <AQP (so le trong) và <ACF = <DCQ (…đối đỉnh)
nên <AQP = <DCQ => <\ DCQ cân tại D => DC = DQ
mà DB = DC nên DF = DQ
=> PQ = 2DP
Từ AC/AP = BC/QP ( cmt) => AC/AP = 2MC/2DP = MC/DP
và < ACB = < APQ (cmt)
nên <\ APD đồng dạng <\ ACM
<PAD = < MAC