cho tam giác abc CÓ các đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau tại G. giá trị nhỏ nhất của biểu thức cotB + cot C

Bởi

cho tam giác abc CÓ các đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau tại G. giá trị nhỏ nhất của biểu thức cotB + cot C

0 bình luận về “cho tam giác abc CÓ các đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau tại G. giá trị nhỏ nhất của biểu thức cotB + cot C”

  1. Đáp án: $\frac{2}{3}$ 

     

    Giải thích các bước giải:

    Vẽ AH vuông góc với BC 

    Xét tam giác AHB vuông tại H

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 

    \cot B = \frac{{BH}}{{AH}}

    Chứng minh tương tự ta có:

    \cot C = \frac{{HC}}{{AH}}

    \Rightarrow \cot B + \cot C = \frac{{BC}}{{AH}}

    Kéo dài AG cắt BC tại I. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên I là trung điểm của BC

    Suy ra GI là trung tuyến của tam giác GBC vuông tại G (BM vuông góc với CM)

    \Rightarrow BC = 2GI

    Lại có: Vì AH vuông góc với BC nên AH \le AI = 3GI 

    Suy ra:

    \cot B + \cot C = \frac{{BC}}{{AH}} \ge \frac{{2GI}}{{3GI}} = \frac{2}{3}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AH trùng với AI hay tam giác ABC cân tại A.

     

    Bình luận

Viết một bình luận