cho tam giác ABC có góc B bằng góc C.Tia phân giác của góc A cắt BC tại H.Từ H kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC
Chứng minh : a) AM = AN
b) AH là trung trực của BC
c) MN // BC
d) Trên tia HM lấy điểm E sao cho HM = ME. Trên tia HN lấy điểm F sao cho HN = NF. Chứng minh AE = AF
Giải thích các bước giải:
a) Vì AH là tia phân giác góc BAC
=> góc BAH=CAH
Vì AM vuông với BA
=> góc AMH=90 độ
=> góc HAM+MHA=90 độ
Tương tự NAH+AHN=90 độ
=> góc MHA=NHA
Xét $\vartriangle MAH$ và $\vartriangle NAH$ có:
AH chung, $\angle MAH = \angle NAH$, $\angle MHA = \angle NHA$
=> $\vartriangle MAH$ = $\vartriangle NAH$ (g-c-g)
=> AM=AN(đpcm)
b) Vì AB=AC
=> A thuộc trung trực của BC
Vì tam giác ABC cân tại A có AH là phân giác góc A
=> AH đồng thời là đừong cao của tam giác ABC
=> AH vuông góc BC
=> AH chính là trung trực của BC (đpcm)
c) Vì AM=AN (cmt), AB=AC
=> $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$
=> theo định lý Talet đảo ta có:
MN//BC(đpcm)
d) Vì HM=ME=> HE=2MH
Tương tự: HF=2HN, mà HN=HM
=> HE=HF
Xét $\vartriangle AEH$ và $\vartriangle AFH$ có:
AH chung, $\angle AHE = \angle AHF$, EH=FH
=> $\vartriangle AEH$ = $\vartriangle AFH$ (c-g-c)
=> AE=AF(đpcm)