Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Gọi G là trọng tâm của ABC.
a) Tứ giác BMNC là hình gì ? Chứng minh
b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BG và CG. Chứng minh MNEF là hình bình hành.
c) Tia AG cắt BC tại H, tia HM cắt đường thẳng đi qua A và song song với BC tại K. Chứng minh ABHK là hình bình hành.
d) Nếu tam giác ABC cân tại A thì MNEF là hình gì ? Chứng minh
a. Vì M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB
Nên MN là đường trung bình thuộc cạnh BC của tam giác ABC.
Khi đó: MN//BC
Vậy BMNC là hình thang.
b. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G là giao điểm của 2 trung tuyến BM và CN.
Khi đó: ${{GM} \over {BG}} = {{GN} \over {CG}} = {1 \over 3}$
Mà E, F lần lượt là trung điểm của BG và CG
Nên BE = EG = GM và CF = FG = GN.
⇒ G là trung điểm của EM và FN.
Xét tứ giác MNEF có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra: MNEF là hình bình hành.
c. Vì H là trung điểm của BC (AG là trung tuyến), M là trung điểm của AC
Suy ra: HM là đường trung bình thuộc cạnh AB của tam giác ABC
⇒ HM//AB hay HK//AB (1)
Theo giả thiết: AK//BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ABHK là hình bình hành.
d. Nếu tam giác ABC cân tại A thì AH là đường cao của tam giác ABC
hay AH ⊥ BC.
⇒ AH ⊥ MN hay AG ⊥ MN (3)
Xét tam giác AGC có M là trung điểm của AC, F là trung điểm của CG
⇒ MF là đường trung bình thuộc cạnh AG của tam giác AGC
⇒ MF//AG (4)
Từ (3) và (4) ⇒ MF ⊥ MN
Theo câu b: MNEF là hình bình hành nên MNEF là hình chữ nhật.