Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H, M là điểm bất kì trên cạnh BC, gọi E,F thứ tự là hình chiếu của trên AB và AC, gọi I là trung điểm của AM, cắt EF tại K.
a) DEIF là hình gì ?
b) CM: M,K,H thẳng hàng
c)xác định vị trí của M trên BC để EF đạt GTNN
d) tìm GTNN của diện tích DEIF biết tam giác ABC có cạnh = a
e) tìm quỹ tích điểm K
⇒ Tứ giác DEIF là hình thoi bởi :
Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên
⇒ EI = DI ( = $\frac{1}{2}$ AM)
⇒ Tam giác EID cân tại I
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên:
mũ EIM = $2^{EAI}$ và ^MID = $2^{IAD }$
⇒ mũ EID = mũ EIM + mũ MID = 2(mũ EAI + mũ IAD) = $2^{IAD }$ = 2. 30 = 60 độ
(Vì AD là đường cao nên là phân giác mũ A)
Tam giác EID cân lại có mũ EID = 60 độ nên đều
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE