Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O), H là trung điểm của BC. M là điểm bất kì thuộc đoạn BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn CA sao cho CN = BM. Gọi I là trung điểm của MN.
a) Chứng minh: 4 điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh: tam giác MNP đều.
c) Xác định vị trí của điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
Đáp án:
a) (cậu tự vẽ hình nha)
Xét ΔBOM và ΔCON có:
BM=CN(gt)
OB=OC (=R)
∠OBM=∠OCN=$30^{0}$ (do ΔABC đều)
Do đó: ΔBOM = ΔCON (c.g.c)
Suy ra: OM=ON hay ΔOMN cân tại O
Vì I là trung điểm của MN nên OI⊥MN ⇒∠OIM=∠OHM=$90^{0}$ nên tứ giác OMHI nội tiếp (có hai đỉnh kề I và H cùng nhìn đoạn OM dưới 1 góc vuông)
b)
Ta có : ∠OMB = ∠ONC (ΔOBM=ΔOCN)
⇒Tứ giác OMCN nội tiếp ⇒∠MON +∠MCN=$180^{0}$
Mà ∠MCN=$60^{0}$
Do đó: ∠MON =$180^{0}$ -∠MCN=$120^{0}$
ΔOMN cân tại O, OI là đường cao
⇒OI là đường phân giác ⇒∠MOI=$\frac{góc MON }{2}$ =$60^{0}$
Ta có: ∠MOI =∠PBM(=$60^{0}$)
⇒Tứ giác BPOM nội tiếp ⇒∠MPO=∠MBO=$30^{0}$
ΔMNP có PI là đường cao, đường trung tuyến⇒ΔMNP cân tại P, PI là đường phân giác∠MPN
Ta có: ∠MPK=2∠MPO=$60^{0}$
Vậy tam giác MNP đều
Giải thích các bước giải: