cho tam giác ABC, góc A= 2 α. phân giác trong AE phân giác ngoài AE. CM: `1/{AB}={sinα}/{AE}+{cosα}/AD`

Ta có:

$AD$ là phân giác trong của $\widehat{A}$

$\to \widehat{BAD} = \dfrac{1}{2}\widehat{A} = \alpha$

$AE$ là phân giác ngoài của $\widehat{A}$

$\to AD\perp AE$

Từ $B$ kẻ $BH\perp AE$

$\to BH//AD\quad (\perp AE)$

$\to \widehat{BAD} = \widehat{ABH}=\alpha$ (so le trong)

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{EH}{AE} = \dfrac{BH}{AD}$

$\to \dfrac{AE- AH}{AE} = \dfrac{BH}{AD}$

$\to 1 – \dfrac{AH}{AE} = \dfrac{BH}{AD}$

$\to 1 = \dfrac{AH}{AE} + \dfrac{BH}{AD}$

$\to \dfrac{1}{AB} = \dfrac{AH}{AB.AE} + \dfrac{BH}{AB.AD}$

$\to \dfrac{1}{AB} = \dfrac{\sin\widehat{ABH}}{AE}  + \dfrac{\cos\widehat{ABH}}{AD}$

$\to \dfrac{1}{AB} = \dfrac{\sin\alpha}{AE}  + \dfrac{\cos\alpha}{AD}$