Cho tam giác ABC (góc BAC = 900), kẻ AH vuông góc với BC tại H. a) Nếu cho biết BH = 3,6 cm; CH = 6,4 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB và tính sin góc HCA. b) Tia phân giác của góc BAH cắt BH tại M. Chứng minh sin góc MAC = cos (900 – góc AMC) c) Trên AC lấy điểm E nằm giữa hai điểm A và C, qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE tại F. Chứng minh: sin góc AEF.sin ACB = HF/CE
Lời giải:
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
$+) \quad AH^2 = BH.CH$
$\Rightarrow AH = \sqrt{BH.CH} = \sqrt{3,6.6,4} = 4,8 \, cm$
$+)\quad AB^2 = BH.BC$
$\Rightarrow AB = \sqrt{BH.BC} = \sqrt{3,6.(3,6 + 6,4)} = 6\, cm$
Ta được: $\sin\widehat{HCA} = \sin\widehat{HAB} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{3,6}{6} =\dfrac{3}{5}$
b) Từ $M$ kẻ $MN\perp AC \, (N\in AC)$
$\Rightarrow MN//AB\, (\perp AC)$
$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{NMA}$ (so le trong)
mà $\widehat{MAB} = \widehat{MAH}$ $(gt)$
nên $\widehat{NMA} = \widehat{MAH}$
Xét $∆MAN$ và $∆AMH$ có:
$\widehat{N} = \widehat{H} = 90^o$
$\widehat{NMA} = \widehat{MAH}$ $(cmt)$
$MA:$ cạnh chung
Do đó $∆MAN\sim ∆AMH$ (cạnh huyền- góc nhọn)
$\Rightarrow MN=AH$
Ta được:
$\sin\widehat{MAC} = \dfrac{MN}{AM}$
$\cos(90^o -\widehat{AMC}) = \cos\widehat{MAH} = \dfrac{AH}{AM}$
mà $MN = AH \, (cmt)$
nên $\sin\widehat{MAC} = \cos(90^o – \widehat{AMC})$
c) Ta có:
$\sin\widehat{AEF}.\sin\widehat{ACB}$
$= \sin\widehat{FAB}.\sin\widehat{ACB}$
$= \dfrac{BF}{AB}\cdot\dfrac{AB}{BC}$
$= \dfrac{BF}{BC}$ $(1)$
Xét tứ giác $ABHF$ có:
$\widehat{AHB} = \widehat{AFB} = 90^o$
Do đó $ABHF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{BFH}$
mà $\widehat{BAH} = \widehat{BCE}$
nên $\widehat{BFH} = \widehat{BCE}$
Xét $∆BFH$ và $∆BCE$ có:
$\widehat{BFH} = \widehat{BCE}$ $(cmt)$
$\widehat{B}:$ góc chung
Do đó $∆BFH\sim ∆BCE\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{HF}{CE}$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow \sin\widehat{AEF}.\sin\widehat{ACB} = \dfrac{HF}{CE}$